Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, группа 9>(ft) является расширенной группой, в которую включены как унитарные, так и антиунитарные элементы. Очевидно,
Аналогично § 41 каждый элемент группы ?P{k) соответствует полному смежному классу в $ (k):
Группа 3>(ft) содержит все поворотные элементы, которые оставляют ft инвариантным, плюс такие произведения оператора обращения времени К на повороты, которые переводят ft в
—ft -f- 2яВн.
Рассмотрим теперь закон умножения для тех матриц копредставлений в S(k), которые устанавливают соответствие элементов смежных классов группы 3 (ft) и элементов группы ?. Имеется четыре типа правил для построения парного произведения унитарного и антиунитарного элементов [см. (41,2)]:
В (100.10) мы определили второй антиунитарный элемент смежного класса как /С |т^}, который, например, равен
(100.2)
или пространственно-временную точечную группу
^(й) = ТО + /адц*).
(100.4)
^(ft) = ^(ft)/2.
(100.5)
г 4-+ ?; <p,v Ч-* {(p/v | T/v} г, ...; .......................................
(100.6)
[см'. (100.3)]
* {b I ?*} = -К {‘fa I То}- {‘Г/А| (100.1 1)
282
Глава 9
Сейчас нам это несущественно. Повторим теперь рассуждение, ведущее от (41.2) к (41.9) при рассмотрения каждого из случаев (100.7) — (100.11). В этом рассуждении надо учесть то, что мы рассматриваем копредставления группы &(k), и поэтому в тех местах, где в произведении сомножителем стоит К, нужно брать в соответствующем месте комплексное сопряжение.
Теперь в мы имеем для (100.7) по аналогии с (41.7)
Д(м*)(т)(ЫЧН^%})“
= exp - ik • ^ DO* *> <m> ({ф,Л1 ^ | т,х> J) =
== ?)(со А) (т) j Т/х}) • ?)(с° *) ({ф^ | т^}). (100.12)
Для (100.8) получим
^(со (т) ({фг^ J Т/J ^ {ф^_ [ т_|) =
= exp - ik . х . Dto * <m> (К • {Ф^ eT/x J) =
= D(co •) (m) ^ j Х[ J J . ?<со •) (m) ^ | (100.13)
Далее, для (100.9)
/уро«(ДС {Фв I Тв> {ф1х
= exp - ik • ^(с0 Л) (т> (К {фел | Тел}) =
= D(co *>(„,) {ф. | Тз}). ?><со *>(«, ^ | . (100.14)
Наконец, для (100.10)
?>(со*)(-)(/({фв(Тд}./С{ф,|т,}) =
= exp - ik • *i3> Л> <m' ({ф9_ fTs_,}) =
s=D<“*)<",)(^{4)e|Te}).D<««*)(m).(7({Vt|Tf})*. (100.15)
Ясно, что и здесь мы имеем дело с проективным отображением. Систему факторов для этих случаев определим' так:
г {К, ц)з=ехр — ik (i, (100.16)
г (Я, а) зг exp — ik • б, (100.17)
г (д, Л) a exp — ik • Rls,),' (100.18)
г (а, т) ss exp — ik • >t. (100.19)
Напомним теперь свойство операторов поворота с чертой} они преобразуют k в вектор, эквивалентный —k. Произведение К на поворот с чертой относится к пространственно-временной точечной группе в точке к. Повторим теперь соображения-ассо-
Симметрия и классическая динамика решетки
283
циативности, которые привели нас к (41.18) для чисто унитарных операторов. Тогда мы найдем те требования, которыми определяется система факторов в проективных представлениях:
г (А,, Х\) г(Хх\, Х2) — г(К, x\x2)r(xi, х2) (100.20)
и
г (а, хх) г (ахи х2) = г (д, ^х2) г* {хх, х2); (100.21)
в (100.20) и в (100.21) х\ ихг обозначают произвольный элемент (унитарный или антиунитарный), Я является элементом типа а а соответствует антиунитарному элементу типа /Сф8. Мы должны убедиться, что выбор (100.16) — (100.19) не противоречит (100.20) и (100.21) аналогично рассмотрению в
(41.19) — (41.23). Правильность (100.20) следует из (41.23); чтобы проиллюстрировать (100.21), рассмотрим случай, когда х\ и х2 являются индексами ц и v.
По аналогии с (41.6) напишем
I Rl- +RL- } = I® I Фа * R. }. (Ю0.22)
I ьо, ц vj I ° L\x, v a, uvj
Тогда
г (а, ц) г (ац, v) == exp - ik • (/?Ls ц + RLs_ цу) =
= exp - ik • (Фв • R^ v + Rl. J. (Ю0.23)
Ho
k ' Фз ~ Vis1 ’ k == — k + 2лВн-Поэтому (100.23) принимает вид
(ехр - ik ¦ RL5> ц„) (exp ik • RL[1i v),
что в обозначениях (100.16) — (100.19) дает
г (a, txv)r*(n, v),
что и требовалось доказать.
Перечислим результаты этого параграфа. Допустимые неприводимые представления группы 9 (k) являются неприводимыми проективными представлениями расширенной пространственно-временной группы &(k), содержащей антиунитарные элементы. Пусть задана совокупность матриц, по одной для каждого элемента !P(k)i
D (8).....D (ф, J, ..., D (К%).......D (Кфйф, J (100.27)
и система факторов
г (1 > 1), .... г (A, w), г (а, А,), .г (а, т), (100.28)
(100.24)
(100.25)
(100.26)
284
Глава 9
таких, что выполняются соотношения
D (<Рх) D (ф^) = г (Л, [А^Сфяц). (100.29)
D (Kffd)D (if J^r(a, v)D(K4ov)t (100.30)
D(^)D(K(t6) = r(Kd)D(K^3), (100.31)
D (K%) D (KyJ = r (a, t) D (Фв> t). (100.32)
Система факторов задана в (100.6) — (100.19) и удовлетворяет соотношениям (100.20) и (100.21). Тогда эквивалентность совокупности матриц D и копредставлений D(c0 *)(m) доказана:
?):=?)( cok)(m)' (100.33)
Анализ допустимых неприводимых проективных копредставлений расширенных кристаллических точечных групп был выполнен несколькими авторами [74—76]. Некоторые из этих авторов пользовались несколько отличающейся системой факторов (p-эквивалентных). Можно думать, что в дальнейшем развитие исследований в этой области покажет единый характер полученных результатов.
