Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 93

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 127 >> Следующая

По (101.9), (101.12), (101.13), используя процедуру индуцирования, можно построить полное векторное пространство 2(со **)(/). Это полное пространство будет базисом для д(с0
В случае I А, В и С применима та же аргументация, но теперь антиунитарный элемент равен а0 — К. При этом (101.12) имеет вид
Здесь можно воспользоваться теми же рассуждениями, что и при выводе (101.13) и (101.14), но теперь матрица р уже известна и ее свойства определены соотношениями (99.6) и (99.8). Ее можно найти из (98.24) с учетом (99.6) и (99,82.
2<со *) (/) _
, (101.15)
288
Глава 9
§ 102. Собственные векторы матрицы D(k) как базнс неприводимых представлений группы 3
После рассмотрения § 87—100 вернёмся к § 83 и обсудим в рамках теории копредставлений свойства преобразования соб-
мы пользовались полнотой набора вырожденных собственных векторов динамической матрицы [D(k)\ при фиксированном k. Эта полнота определена только по отношению к пространственной симметрии, т. е. по отношению к унитарным операторам группы ®(k).
Рассматриваемая пространственно-временная группа 3, являющаяся полной группой симметрии для нашей задачи, имеет неприводимые копредставления. В частности, произвольный собственный вектор при фиксированном k, относящийся к собственному значению <о2(fe|/у,), должен входить в набор вырожденных собственных векторов матрицы D(c0 k) Поэтому (83.5) следует заменить на
В сумму по v в (102.1) нужно включить все собственные векторы, входящие в базисное пространство 2(со **(/) для неприводимых копредставлений. Эти собственные векторы в точности соответствуют различным линейным векторным пространствам,
обсуждавшимся в § 101, но с заменой базиса из е на базис
Соотношение (102.1) имеет существенные практические применения. Часто в результате численных расчетов получается
собственный вектор е , симметрию которого надо устано-
вить. Если аналогично (102.1) использовать для этого чисто пространственные операторы, то важно представлять себе, что полученные линейные комбинации характеризуются не только матрицей Л(*ИЛ, но также матрицей копредставления ?ХС0 *></). Таким образом, чтобы установить тип копредставления, надо полностью определить симметрию некоторого собственного вектора, производя преобразование этого собственного вектора с помощью всех операций полной пространственно-временной группы 3 {k).
ственных векторов
из (83.4). Чтобы получить (83.5),
р(ч1чг(1 l)-Ев"°‘и,'(^л)кН\ *)¦ (102Л)
Г" у V
Симметрия и классическая динамика решетки
289
§ 103. Определение симметрии нормальных колебаний кристаллической решетки
Теперь мы можем завершить решение задачи, которое было прервано после § 82, 83. Для данного кристалла с пространственно-временной группой ^ можно определить симметрию всех существующих нормальных колебаний кристаллической решетки.
Посмотрим, чем мы располагаем для решения этой задачи. Мы имеем полный набор неприводимых представлений группы-^. В частности, имеются неприводимые допустимые представления группы S’ (k). Если вектор k для каждого $ (k) относится к классам I, II, III из (94.2), (94.3) и (94.4), то мы можем установить, относится ли данное неприводимое копредставление к типу А, В, С из (98.59), (98.60) и (98.61). Тогда мы можем установить, выделяет ли неприводимое копредставление одно неприводимое представление унитарной подгруппы либо два. Во втором" случае, когда имеется неприводимое копредставление типа В или С, выделяющее прямую сумму двух неприводимых представлений, установлено, какие именно два представления объединяются (например, в случае С представление Dik)^m) входит дважды, в случае В входят два неэквивалентных представления D(ft) (m)).
Пусть теперь, как и' в § 82, нам даны также представления ?)(*>(«> группы®(А). Для каждого элемента в ®(k) система характеров для D<ft) w определена в (82.21) и (82.22) следующим
образом:
и(|ф^|т,J). (103.1)
Но так как набор собственных векторов является базисом допустимого неприводимого копредставления группы ®(k), мы должны выполнить разложение
Х(А) (е) ^ %(со *) (103.2).
m
где ст — число раз, которое m-е неприводимое копредставление D(co*)(т> группы & (k) появляется в представлении DW(e), базисом которого служат собственные векторы.
Обозначим характер D<coft)(m> через ^co*)(m). Чтобы установить наиболее простым способом, сколько раз появляется /-е неприводимое представление группы <3 (k), можно выполнить только разложение по унитарной подгруппе. Тогда' -
с/=т1*,ии(К1ч})*“н'ЧК1%)Г- I103-3)
© (*) ,
290
Г лава 9
Суммирование в (103.3) идет по унитарным элементам группы ©(ft)- Характер %<*><«> получен в (82.21). Выпишем этот результат здесь: • <
*(Же,(КК})=
- ± (1 + 2 cos ф, J Z ({е | - RN (я%, х")}) в*ф (103.4)
где
Mxvx") (103-5)
есть некоторый вектор трансляции решетки из (82.8), зависящий от положения двух атомов решетки, связанных поворотом фг Величина
О03'6)
определена в (82.16) и (82.3).
Таким образом, мы можем выполнить процедуру разложения представления (<?), базисом которого являются собственные векторы, на неприводимые представления группы
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed