Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бирман Дж. -> "Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1" -> 94

Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.

Бирман Дж. Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 — М.: Мир, 1968. — 388 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvennayasimmetriya1968.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 127 >> Следующая

©(ft). Зная, к какому из типов А, В, С принадлежит индуцированное представление, мы сразу же можем выполнить разложение D{k) (е) на неприводимые копредставления группы !?.
Важно отметить, что помимо общих сведений о структуре пространственно-временной группы для получения (103.3) мы использовали сведения о конкретной локализации атомов, о стехиометрическом составе, о структуре кристаллических базисных векторов. Структура элементарной ячейки определяет величины Rn и 6 в (103.6), следовательно, эта структура определяет и реальную симметрию колебаний решетки.
Эта программа будет реализована ниже в § 138, где будет установлена симметрия фононов в кристаллах с симметрией каменной соли и алмаза.
§ 104. Определение собственных вендоров е
из свойств симметрии. Определение собственных значений динамической матрицы
Как показано в § 103, для конкретного кристалла (т. е. для заданного состава и заданной пространственно-временной группы 8) известно, какие неприводимые представления существуют при заданном значении ft. Формулы приведения (103.2), (103.3) дают нам эту информацию.,
( )
Симметрия и классическая динамика решетки
291
Определим теперь собственные векторы колебаний решетки (k\
еу . J в той мере, в которой это допускает теоретико-групповое
рассмотрение. Очевидно, если нам дан один из вырожденных собственных векторов," например относящийся к представлению
D(b)U) вектор е\ . I, то применением операторов симметрии
группы 3 можно получить все остальные векторы. Какой-либо
из таких собственных векторов el . I можно определить вме-
V I /ц /
сте со всеми прочими вырожденными с ним векторами численным решением динамического уравнения. Применение операций
(\ k\
симметрии позволяет при этом установить, дает ли е I . I пред-
ставление D(h) <А группы © (k).
Более удобно, вообще говоря, использовать некоторый эквивалентный, заранее заданный базис, через который удобно определить собственные векторы, отражающие симметрию, т. е. координаты симметрии. Исходным базисом при этом является просто совокупность записанных в декартовых координатах единичных смещений, по одной компоненте на каждую механическую степень свободы кристалла (полное число степеней свободы равно 3rN). Копредставления группы 3, полученные с помощью такого базиса, обычно называют «механическими» или «полными» представлениями [49]. Введем следующие обозначения для единичных декартовых смещений:
M*)'4rC)-AZ(*)} “-(*)•
(104.1)
Величина является а-компонентсгй амплитуды единич-
ных декартовых смещений, относительно положения равновесия г0^ Полный набор 3rN таких смещений охватывает все
возможные нормальные колебания кристалла.
Построим теперь блоховские векторы с волновым вектором k, соответствующие этим элементарным смещениям. Для этого воспользуемся оператором проектирования (25.4):
292
Глава 9
Ясно, что для заданного k имеется 3г ткких блоховских векторов. Используя их в качестве базиса, мы можем построить Зг-мерное представление малой'"группы il(k) = ®(k)/?(k), определенной в (39.9). Следовательно, если является эле-
ментом ®(k)/?{k), то можно найти результат применения этого оператора к сумме (104.2). Так как 3г сумм (104.2) образуют полное линейное векторное пространство для всех нормальных колебаний с волновым вектором k, а также являются полными по отношению ко всем возможным единичным смещениям, то результатом действия P^t | на такую сумму будет возникновение линейной комбинации всех 3г величин (104.2). Таким способом мы получим представление D(k) (Д), базисом которого являются единичные декартовы смещения. Это представление также называют «полным» представлением. Когда D(ft>(4) преобразовано в прямую сумму допустимых неприводимых представлений группы ®(k)/Z(k), мы можем найти специальные представления, возникающие в задаче о нормальных колебаниях, т. е. симметрию всех имеющихся нормальных колебаний.
' Полезно отметить здесь важное обстоятельство. Как пространство
2<*> <д> = {АХ (11 к), ..., AZ {г | k)}, (104.3)
так и пространство
оба являются полными линейными векторными пространствами для собственных векторов динамической матрицы при фиксированном к. Во-первых, (104.3) построено из 3г декартовых компонент единичных смещейий атомов; во-вторых, (104.4) построено из полной совокупности 3г собственных векторов динамической матрицы при заданном к. Обе совокупности полные, поэтому они эквивалентны друг другу. Следовательно, существует унитарная матрица 5, такая, что
Тогда и представления унитарной подгруппы О(Л) тоже должны быть эквивалентными:
(104.4)
(104.5)
(104.6)
Убедимся в справедливости (104.6), используя определение характеров : ’
sp 0<‘МД) вз х(*> (4). (104.7)
Симметрия и классическая динамика решетки
293
Как обычно, подействуем оператором на единичные
Произведем такую замену индексов суммирования, чтобы суммировать по величинам
При получении (104.11) мы воспользовались тем, что {фх|*х} относится к группе ®(k)l%(k). Так как {фх|*х}является операцией симметрии кристалла, то индекс относится к одному из г
атомов в элементарной ячейке.
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed