Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 101. Комплексные нормальные координаты как базис неприводимых представлений группы 3
Анализ, выполненный в § 87—100, дает возможность завершить рассмотрение § 86. По определению физическим неприводимым представлением является неприводимое копредставление. В (86.28) и (86.30) были получены правила преобразования комплексных нормальных координат (фурье-компонент):
(101.1)
Так как )(/) неприводимо, образованное совокупностью нормальных координат пространство
^"-Мл).................«(*,)} (101-2)
является инвариантным и неприводимым по отношению к группе @ (ft). :
Инвариантное пространство, в котором существуют неприводимые представления- D{coi) (/), оказывается разным в зависимости от того, к которому из классов относятся волновые векторы и какой случай неприводимых представлений, рассматривается.
Симметрия и классическая динамика решетки
285
Простейшим является случай волновых векторов класса III, определенный в (94.4). В этом случае учет обращения времени удваивает «глобальное» вырождение. Поэтому сначала построим
2(*а) (Л 2<*> </>0 ... 0р{фя (Та}2<*> </>0 .., фР{^ j (e}SW <nt (Ю1.3)
а затем построим
2(**) (/)* = #?(**) </> = s(*-*) (7). (101.4)
Объединенное пространство является базисом неприводимого представления группы 3:
2(со **) (/) _ ?(*) (/) 0 #?(*) (/) 0
••• ©Р^К}2<*)<Л© Ф%1МЭЖ''’ (101-5)
Короче говоря, комплексно сопряженная координата из совокупности (101.2) оказывается вырожденной с несопряженной, причем они линейно-независимы.
В случае линейной независимости ) и )==
= Q ( . ) часто вводят вещественные нормальные координа-
\ /v /
ты первого рода [см. [18], уравнение (38.33)]. Это преобразование определяет две вещественные величины следующим образом:
*( /!)-т5г-(«С *) -«(7* ))• (101-7)
В этом случае мы должны также разделить «положительные и отрицательные» волновые векторы обратного пространства, построив для этого плоскость в обратном пространстве [18]. Преобразование ОТ q(^. ), q( . ) к qi(^ . ), q2(^. ) уни-
тарно, и, следовательно, оно дает эквивалентное копредставле-ние. Но это копредставление не будет иметь простой, полностью приведенной формы (94.7), соответствующей ограниченному представлению, выделенному унитарной подгруппой ©, так как представления, соответствующие h и —k, здесь перемешаны.
Для получения вещественных нормальных координат второго рода часто используется еще одна методика [см. [18], уравнение (38.38)], требующая канонического преобразования. Мы не будем обсуждать это преобразование здесь, так как, по мнению автора, некоторые тонкие вопросы, касающиеся соотношений
286
Глава 9
между вещественными координатами и теорией копредставлений, не нашли еще удовлетворительного решения. Обсуждение этого вопроса можно найти в работе [77] и в § 114 нашей книги.
Суммируя результаты для случая звезды класса III, мы приходим к выводу, что простое объединение двух пространств типа (101.5) образует базис для физического неприводимого
представления D^co *k') группы Вырожденные собственные значения, или квадраты частот, связанные с векторами пространства (101.5), равны
*4k\h), ...,*4k\k)...., «?{ks\i4), , (
Ю2(— *l7l), .... Ю2(— k\jK), ..., со2(— ks\ltj).
Полное число этих вырожденных собственных значений равно s (/;. -f- lj) = 21 js. Индекс / следует определить сопоставлением с таблицами характеров или выполняя явно преобразование нормальных координат аналогично (94.26). Требуя от собственных векторов или нормальных координат, чтобы они были вещественными в соответствии с преобразованиями (101.6) и (101.7), мы можем нарушить свойства преобразований под действием пространственных операторов группы
Для волновых векторов класса II, определенных в (94.3) (см. также § 98), положение существенно отличается. Мы должны обсудить три возможности — случаи А, В, С аналогично (98.59) — (98.61) . Для случая А базис
s(coA)(/)s{q(*), ..., q(*)..........q(*)} = :sW(/) (101.9)
тождествен (101.2). Дополнительного вырождения, обусловленного симметрией по отношению к обращению времени, нет ни в «глобальном», ни в «локальном» смысле этого слова.
В случае В имеется дополнительное локальное вырождение. Неприводимые копредставления группы 9 (к) имеют своим базисом объединенное пространство аналогично (98.13). Из (101.1) и (95.62) можно получить
(101.10)
И • '
">«(/*)” «(*/*)•• (WU1)
Симметрия и классическая динамика решетки
287
Следовательно, при этом для а0 КР^в |
*) (/) __
+ М Л..............Ч Л} а0112)
и реализуется случай IIВ (98.60) для неприводимых копредставлений группы S{k).
В случае волновых векторов типа IIC (98.61) мы можем снова воспользоваться векторным пространством (101.12).
Тогда в обоих случаях IIВ и IIC получаемое при этом представление унитарной группы ®(k) будет аналогично (98.14) и (98.18), а не (98.39) и (98.51). Чтобы получить представление ®{k) в обычной форме (98.39), (98.51) для случая II С, нужно найти матрицу р из (98.24). Тогда с найденной из (98.24) унитарной матрицей р пространство
дает в двух рассматриваемых случаях представления группы ®(k) в форме (98.39).
