Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
— і?+cos20o jRxcos0o cos O0 sin O0
#xcos0o R+ -Rx sin0o , (6.38)
cos O0 sin O0 —jRxsin0o —#+sin20a
RjQkO —
R+ и Rx представляют волны двух независимых поляризаций.
Легко найти из (6.37), (6.38) при вычислении правой части уравнения (6.30), что
-C2Rit
-C»/?+-?-«-«g>)sine0:
M
= Sin2O0,
(6.39)
т. е. цилиндрический детектор реагирует только на одну из двух возможных поляризаций гравитационной волны. Поскольку воз-
159 мущающая сила в правой части уравнения (6.30) теперь полностью определена (6.39), (6.37) и содержит в длинноволновом пределе только функцию времени R+(t), задача отыскания реакции цилиндрического детектора сводится к уже решенной для модели «осциллирующая гантель» в § 6.2.
В случае произвольной функции #+(/) удобно использовать спектральный метод решения, разлагая R+(t) и an(t) в интеграл Фурье и переходя к спектральным амплитудам І?+(со), ап((о).
Найдем сечение поглощения детектора. Энергию, поглощенную первоначально покоющимся детектором из гравитационной волны, можно представить в виде
+ 00
En=-C2Inр J an(t)R+(t)dt =
— oo
= C4ZnP Re Г/<ва>) -=
— оо
= > С 2O0)2 (о) 12 ^
^ J (0)2- 0)2)2 + 4(02б2 V '
Для короткого импульса, такого что в пределах резонансной кривой можно пренебречь изменением R+(со) с частотой, спектральная интенсивность I/?+(©) I2 выносится из-под интеграла, остающаяся часть — известный интеграл, равный я, т. е.
En = ixc42nP\R+ (Co)I2. (6.41)
Подставляя сюда значение In, из (6.39), (6.37) получаем
= Sin460 [l + art. (6.42)
п п2 0)^ L 2 J
С другой стороны, поглощенную детектором энергию En можно выразить через спектральную плотность энергии падающего излучения Я (со) (§ 6.2):
оо
En= J 2Л (со) H (со) dco. (6.43)
Из формул (6.2) и (6.7) несложно получить связь между //(со) и спектральной плотностью тензора кривизны гравитационной волны заданной поляризации R+
ЯМ-ЙГ-1^ <6-«>
160 Сравнивая (6.43) с (6.40), при учете (6.44) находим для сечения поглощения п-й моды на частоте со
И = —— Pln-;-. (6.45)
^3 (О)2 — О)2)2 + 4б2о)2
Для коротких импульсов излучения H ((о) можно считать постоянной в пределах резонансной области п-й моды и вынести из-под интеграла (6.43) величину H(^n)=HОстающийся резонансный интеграл имеет смысл введенного ранее § 6.2 резо-
oo
нансного сечения поглощения детектора А{п) = j2n(co)dco. Orpa-
- oo
ничивая область интегрирования положительными частотами, находим
(6.45*)
Если п = 1, (Xn = O, формула (6.45*) переходит в (6.23), что лишний раз демонстрирует удачный выбор эквивалентной модели детектора в § 6.2. Выражение (6.45*) дает резонансное сечение поглощения для произвольной нечетной моды с поправкой на конечный поперечный размер цилиндрического детектора. Для используемых в экспериментальной практике детекторов эта поправка, однако, оказывается несущественной. Например: параметры детектора Вебера из алюминия M= 1,4-IO6 г, U3 = = 5,1-105 см/с, 0 = 0,345, ai = я/?//= 0,69 дают при общей величине резонансного сечения Л = 2-Ю"21 см2 Гц поправку, составляющую лишь 2,6% [157], следовательно, и в этом отношении простая одномерная модель оказывается вполне удовлетворительной аппроксимацией.
В литературе можно найти и более строгие вычисления (чем в приближении Похэммера —* Чри) с включением в рассмотрение кроме продольных также крутильных и изгибных мод цилиндра конечных размеров [155, 156]. Компактных формул, однако, здесь не получается; фактически наиболее важным результатом этих расчетов явилось численное указание собственных частот различных мод [156] и вывод о том, что только наинизшая антифазная продольная мода с п=\ и ее ближайшая гармоника с п = 3 будут заметно возбуждаться гравитационной волной, в то время как все остальные моды будут находиться в состоянии теплового равновесия. Это обстоятельство, конечно, может быть использовано при выделении гравитационно-волнового возмущения детектора от помех негравитационной природы.
,'6 И. Бичак, В. Н. Руденко
161 § 6.5. РЕЗОНАНСНОЕ СЕЧЕНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ
Расчет резонансного сечения поглощения или «резонансного интеграла от сечения поглощения» [2, 143]), проведенный в § 6.2 для «осциллирующей гантели» и в § 6.4 для цилиндрического детектора, содержит тождественные элементы, выделяя которые можно указать общие рецепты вычисления этой характеристики. В частности, в [2, 143] используется формула для Abif полученная в рамках модели невзаимодействующих мод (6.4), (6.30), универсально пригодная для любого типа твердотельного гравдетектора. Приведем вывод этой формулы.
После разложения вектора смещения u (г, t) по модовым функциям приходим к уравнению для амплитуды п-й моды, представляющему собой уравнение слабозатухающего осциллятора с эквивалентной управляющей силой в правой части (6.30):
/экв = -C2RiOiO (0 j Р"Г (Г) XjClV- (j р (Uff dVy1 =
Ij^pufhjdv. (6.46)
M
Здесь тензор кривизны, связанный с гравитационной волной, представлен через амплитуду R(t) и поляризационный тензор ец (напомним, что eiknk = 0, eikeik = 2y yLeii = 0); кроме того, использовано условие нормировки модовых функций
