Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6.4. ТЕОРИЯ ДЕТЕКТОРА ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТИПА
Выше были приведены основные характеристики гравитационного детектора и получены формулы для их бценки в рамках простой модели осциллирующей гантели. Как показал опыт, для экспериментаторов такая методика анализа весьма практична, она сочетает наглядное представление о физике процессов взаимодействия детектора с гравитационной волной и возможность быстрых расчетов с приемлемой ошибкой. С точки зрения стро-
156 гой теории, естественно, существовало стремление к более скрупулезному анализу, учитывающему конечный поперечный размер детектора и особенности его формы. В этом направлении был выполнен ряд работ, охвативших основные типы симметрий детектора: цилиндр, диск, рама, сфера.
Цилиндрический детектор рассматривался в работах [155— 157]. Приведем здесь его приближенный расчет, в рамках аппроксимации Похэммера — Чри для модовых функций цилиндра [158], с целью отыскания поправок к рабочим характеристикам за счет конечной величины радиуса [157].
В трехмерном случае смещение элемента объема цилиндра описывается вектором u(r, t)\ г=(х\ = ху х2 = г/, = z), который представляется в виде разложения по ортонормированным модо-вым колебаниям (un=u(n))
u (г, O = JMOuW (г).
(6.29)
Если затухание мало, то с помощью методики, изложенной в § 6.1, получаем трехмерный аналог уравнения (6.4)
CLn + 26ndn + (x)Ian = -C2Rjoko j ufxkdv.
(6.30)
Как обычно, подразумевается суммирование по совпадающим индексам, т. е. правая часть (6.30) представляет сумму возмущающих сил, индуцируемых волной в теле цилиндра. Априори здесь участвуют все типы мод — продольные, крутильные, изгибные В-объеме цилиндра V; и по-прежнему используется длинноволновое приближение, которое игнорирует пространственную зависимость компонент Rjoko в пределах размеров детектора.
Если ограничиться только осесим-метричными продольными модами, то можно использовать решения для модовых функций в приближении Похэммера — Чри [158], которое хорошо соответствует точным решениям, пока так называемый «модовый параметр» an = nnRo/l остается меньше единицы; Ro — радиус цилиндра.
Выберем цилиндрическую систему координат с осью z вдоль оси цилиндра и началом координат на одном из его торцов (рис. 6.1). Волновой вектор волны лежит в плоскости XZ под углом 00 к оси 2. В безразмерных
координатах I = г/R09 r = r/R0 аксиаль- Рис- 6Л- Цилиндрический гра-
г « гт витационный детектор (к рас-
ные МОДОВЫе функции Похэммера - чету резонансного сечения по-Чри имеют вид [157, 158] глощения)
157 «f = IW0 (8/) + CnCCnJ1 (?/)] sin a„?, (6.31)
uf = 0,
"Г = RccnJ0 (V) + Cn (?/) + J1 (Mir]} cos a„C.
Безразмерные параметры и on связаны с модовым параметром ап
= (6.32)
0%=и1рф(к + 211)—a2nt
Jk — бесселевы функции; Xt \i — коэффициенты упругости Ламе, р — плотность материала детектора.
Волновое число an, уже выбранное в виде Ctn = ImRoIlt обеспечивает выполнение одного из граничных условий на торцах цилиндра — равенства нулю компоненты тензора напряжений: 0?? = О при (S = 0, l/Ro) [157]. Собственная продольная частота (On и отношение коэффициентов (AnICn) =Ьп могут быть найдены из граничных условий на боковой поверхности Otr = Grr = 0 при ?= 1 (граничное условие Cfrs = O на торцах цилиндра не может быть удовлетворено из-за отсутствия свободных параметров в решении (6.31), однако возникающие при этом отклонения от точного решения ~агп [157] и несущественны в приближении Пах-эммера — Чри). Выполнение всех указанных операций приводит к следующим формулам для собственной частоты коэффициента Ьп и волновых чисел ?n, бп [157, 158]
v2n = a2n(E/pRl) (і--
o*an L
о2 2 2X + Ц Г ,
Pn = CCn —- 1 —
x + p L
ЗА,+ 2ц 8(Х + 2р)
осі
X2 (ЗА, + 2ц,) 8(1+ [і)2 (21+ її)
¦at
(6.33)
а2 „2
п = —OLn '
X2
? + li) (Х + 2[х)
1 +
\i (ЗХ + 2ц) 8(Х + р)*
а4
здесь ?=ji(3X + 2jli)/(X + |i) — модуль Юнга и а=Х/2(Х+ р,) — отношение Пуассона [159].
Ограничимся модами, не имеющими радиальных узловых точек вне оси г; тогда, разлагая модовые функции (6.31) по an<h с учетом (6.33) можно получить в низшем порядке следующие простые профили для компонент вектора смещений:
158 и™ = AnCaj s\n(anl),
4rt)=o
t^ = An( \~ -2-a^) cos (а„0, где новый нормировочный коэффициент An равен
2n = (2/vf2[l + V4 -<*)««]•
(6.34)
(6.35)
Формулы (6.34), (6.35) дают необходимую аппроксимацию компонент смещения, которую мы будем использовать при вычислении возбуждающей силы в правой части уравнения (6.30). Удобно ввести весовую матрицу детектора, состоящую из элементов
"/ft ssJ "Гхф.
(6.36)
Подставляя сюда u<"> =u<n) coso, u<"> =u<.">sin0, uf>=u^, после интегрирования по объему цилиндра, не сложно найти [157]
U (у
--а2
О
О--ап
4 л
О О 1
о о
— «п
4 л
(6.37)
Видно, что четные продольные моды ft = 2т не возбуждаются гравитационной волной.
Тензор кривизны в выбранной системе координат в общем случае присутствия двух поляризаций в излучении, падающем под углом 0о к оси детектора, также распишем в виде матрицы
