Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 6.3. Сферический гравитационный детектор с отметками положений датчиков
ми квадруполями содержит по две пары в плоскостях zx, zy и еще одну незатронутую пару в плоскости ху. Таким образом, имеется пять независимых «геодезических картин» сферических деформаций, или пять мод, определяющих степень вырождения квадрупольных колебаний фиксированной частоты. Соответствующие пять «независимых отсчетов» Ak (измеряемых величин), необходимых для идентификации характера возбуждения сферы, могут быть представлены линейными комбинациями амплитуд элементарных квадруполей (XiXj) или в матричной форме, например [160]:
170 1
1 0 0>
\0 О OJ
/2
(хх—у у), A3 =
1
/2
(XZ + zx)y
(ху +ух),
(6.65)
/6
(2 zz—xx—yy).
Возможен другой набор наблюдаемых, совпадающий с известным описанием компонент углового момента в электродинамике [160, 169]:
t±2 — п
*±1 = ^r
tO- /6
1 ±i 0 ±i—l 0 ООО
0 0 ±1 0 0 і ±1 і О
— 1 о о 0—10 0 0 2
= -у (XX—уу) ± — (ху+ ух),
± ~y(xz + гх)(yz + zy),
(6.66)
y=-(2zz—xx—yy);
умножение на і, как обычно, означает, что соответствующую измеряемую величину следует добавить в общую комбинацию с фазовым сдвигом я/2. Легко проверить, что как набор (6.65), так и (6.66) образуют ортогональную полную систему, что формально отражает физическую независимость отдельных отсчетов (измерений). Ясно, что этих пяти отсчетов в принципе должно быть достаточно для однозначного определения амплитуды, поляризации и ориентации тензорного гравитационного излучения; кроме того, имеется возможность обнаружения скалярной волны, индуцирующей сферически симметричные возмущения, путем измерения комбинации
1 I100I ,
-7ГІ 0J0 ]=yf(xx+yy+zz).
171 Следует ожидать, что благодаря пятикратному вырождению мод шарового детектора его резонансное поперечное сечение возрастет примерно в пять раз по сравнению с цилиндрическим детектором и в два с половиной раза по сравнению с дисковым.
Дадим теперь кратко теорию шарового детектора с целью получения необходимых расчетных формул для поперечного сечения. Собственные функции шара могут быть представлены в виде [158, 172]
Un.m = [ая (Г) ± + Ьп (г) #ov] Ynm (O, Ф). (6.67)
где Ynt т — сферические функции; an(r), bn(r) — безразмерные радиальные функции; индекс п — четное число в силу специфики возбуждения колебаний гравитационной волной (см. (6.46)), п = 0,2, ....
Радиальные собственные функции, вычисленные, например, в [170], равны
ап (г) = CPRje Jn(x) + Cf R0n(n + \)k (Jn (х)/х),
Ьп (г) = CfJn (X) + Cf (xJn (х)У; (6.68)
x=kr, Л:2 = coS2(1 +о), *=й'г, (k'Y = &- *~2a
E x ' x ' 2(1 — a)
Jn(x) — бесселева функция, ограниченная в центре шара (г = 0). Граничные условия свободной поверхности сферы приводят к уравнениям [170] (в которых после дифференцирования следует положить г=Ro):
с\п)[jn(xfxY+с**ту [ (дг+;~' - 4-) Jnм-
-Jn(X)Ix] = 0, (6.69)
с>(п) [("-^-(т )2)J (X)-ZJ'СФ] +
+ cr>n(«+i)(-L)2(.
Jn(X) \ ^Q
Как обычно, собственные частоты находятся из равенства нулю детерминанта системы (6.69), после чего определяется отношение коэффициентов C2/С\; ввиду трансцендентности (6.69), это можно сделать только численно (условие нормировки собственных функций позволит разделить Ci и C2).
Резонансное сечение поглощения шарового детектора рассчитывалось в [171]. Входящая в выражение эквивалентной вынуждающей силы (6.47) свертка тензора квадрупольного момента
172 моды (п = 2) с тензором поляризации в случае циркулярно поляризованной волны может быть представлена как
32я \ 1/2
15
1 і 0> (cc2+3?2); eif=\i -1 О ,0 0 OJ
(6.70а)
для правой круговой поляризации и
Offeii)
32я \ 1/2
15
)1/2(«2 + 3?2); *</=(-
(6.70в)
для левой круговой поляризации.
Константы аг, рз определяются через радиальные функции (6.68) по формулам
«а= f pa2(r)r3dr, ?2 =
і
о
і?
J pR0b2r*dr.
(6.70с)
Наконец, для резонансного сечения поглощения (6.51), суммарного по всем пяти квадрупольным модам (второй индекс шаровой функции (6.67) принимает т = 2/г+1 значений: п = 2, т = 5), нетрудно найти
16я2 G
MRW2 (сс2+3?2)2.
rlW2 "
15 с3
(6.71)
Сфера
Диск
jl
jl
J-
В [171] выполнен численный сравнительный расчет «эффективных площадей» (6.52) для трех детекторов цилиндрического, дискового и шарового с одинаковым линейным размером (2Ro = l), из одного и того же материала (при этом под V3 в формуле (6.52) подразумевалась скорость поперечных звуковых волн и32=(р/?)2(1+<т)). Результаты представлены на (рис. 6.4) в функции коэффициента Пуассона; они демонстрируют закономерное возрастание «эффективной площади» детектора по мере «усложнения геометрии», свя-
OiI Ot2 OtZ OA OtS Отношение Пуассона
Рис. 6.4. Резонансное сечение для трех типичных конфигураций гравитационного детектора (нормировка JXa)dv = GAfc-3U3S)
173 занное с явлением вырождения мод (факторы возрастания не противоречат ожидаемым; 2 — для диска и 5 — для шара, по сравнению с одномодовым цилиндром).
