Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
і
N2 = ^x [R2n (х) + T2n (х)] dx, x=r/R0. (6.54)
о
Для отыскания резонансного сечения в соответствие с (6.51) требуется вычислить свертку модового фактора квадрупольного момента диска lfk с тензором поляризации волны С этой целью удобно перейти к декартовым координатам с центром на оси диска и осями х, у в его плоскости. Тогда для фиксированной поляризации ( + ) получим с помощью (6.486)
= (6.55)
где Гхх = —Iyg—компоненты тензора момента инерции п-й моды. Найти их можно по формуле (6.48а), предварительно приведя компоненты вектора смещений (6.53) к декартовым координатам, а именно
U^ =R (г, ф) cos ф—T (г, ф) sin ф,
/с. рс\
и™ = R (г, ф) sin ф + T (г, <р) cos ф. Используя (6.53) и (6.56), получим (дс'= г/R0)
W=-C = MR0IJN,
' (6.57)
In=$x'*[Rn(x')-Tn{x')] 8nldx'.
Дельта-функция в составе In (следствие ортогональности тригонометрических функций) выделяет моды с /2 = 2, эффективно возбуждаемые гравитационной волной. Собственная частота этих мод должна быть.найдена из граничных условий на свободной поверхности диска; в общей форме это дает уравнение
сO2Ro = V3Iy (6.58)
здесь выведен численный фактор g (безразмерная частота), зависящий от структуры моды. Подставляя теперь (6.54), (6.55) и
165 (6.57), (6.58) в (6.51), получаем формулу для резонансного сечения поглощения волны заданной поляризации:
4 = Muf• я = -j Mv23Af, (6.59)
где величина A2^G\ играющая роль «эффективной площади» дискового детектора (6.52) в смысле работ [167, 168], представляется интегральным выражением
і
{j X* [R2 (X)-T2 (X)] dx}2
Af = nl2 -. (6.60)
J * [R22 (X) + T22 (X)] dx о
Таким образом, задача о резонансном сечении поглощения для диска в принципе решается формулами (6.58) — (6.60). Однако простого аналитического выражения для A2, как в случае цилиндрического детектора, здесь не получается; возможен лишь численный расчет, для которого необходим конкретный вид функций
(*), T2(X)i а также уравнение для отыскания Приведем здесь для полноты эти данные [158] *. Хотя требуются частные модовые функции с индексом п = 2, выпишем их вид для произвольного п:
Rn (X) = C1Jn (X) + С2п [Jn (х)/х],
Тп(х) = -C1Ti [Jn(x)/x]-C2 [2/(1 —ст)]1/2 Jn(x),
(6.61)
здесь X = kr у X = [2/(1—а)] kr, k2=p(l—a2)(*2/E.
Здесь, как и раньше, (Е/р) =V23i а — коэффициент Пуассона, Jn(x) — функция Бесселя, Ci, C2 — произвольные постоянные. Граничные условия — равенство нулю радиальной и тангенциальной компонент напряжения на поверхности диска — приводят к относительно громоздкой системе однородных уравнений
auCi + al2C2 = 0f
(6.62а)
а2\С\ + а22С2 = 0у где элементы матрицы ||а|| равны
aIi = (1 —10O Jn (X0)ZX0 + [1 —(1 — or) H2Ix20] Jn (X0)i
ап = — 2riJ'n (X0)IX0 + cInJn (х0)/хо,
* Ниже используем результаты расчета гравитационно-волновой группы Po-честерского университета (США).
166 а12 = —2tlJn (xQ)/x0 + 2nJn (X0) Ix2O,
(6.626)
Я22 [4/( 1 - er)] Ґп (X0)Txо + [ 1 -2/i2/*2] Jn (X0), X0 = ItR0; x = [l/(l—a)]kR0.
Уравнения (6.62a, 6) допускают определение отношения произвольных постоянных Co=C2ICx и собственные частоты (или числа k) из условия существования нетривиального решения (6.62а) Detllall = 0. Собственные частоты, записанные в форме (6.58), несут два индекса: первый (п) фиксирует периодичность моды по углу симметрии, и второй (т) связан со структурой смещения упругих элементов диска в радиальном направлении (грубо говоря, это число акустических полуволн на диаметре диска, хотя точная целая кратность здесь не имеет места); таким образом,
V3 ? ? _ IzntnR0
n 0 Snm» Ъпт ,. 9ч 2kR0 (1— (J2)
I7F- (6-63)
Численный расчет дискового детектора выполнялся различными авторами для конкретных экспериментальных моделей [163, 164]. С целью иллюстрации поместим в таблице данные расчета сапфирового детектора рочестерской гравитационно-волновой группы (<j=0,24, и3=1,Ы06 см/с). Сравнение (6.59) с (6.23) показывает, что «эффективная площадь» цилиндрического детектора равна Л2т = (8/ят2), т= 1, 3, 5 и т. д.; отсюда и из данных таблицы следует, что дисковый детектор по крайней мере вдвое эффективнее цилиндрического поглощает энергию из гравитационной волны, что связано с его способностью реагировать сразу на два характерных направления вариаций метрики в плоской волне (х и у)\ в этом смысле дисковый детектор эквивалентен двум перпендикулярно ориентированным цилиндрическим. Угловой множитель к резонансному сечению в случае, когда волна падает под углом 0 к оси диска, равен f(0) = [(1+ cos20)/2]2, что также принципиально отличается от цилиндрического варианта детектора (~sin20) отсутствием «направления нулевой реакции».
Еще одно новое качество дискового детектора — его способность реагировать одновременно на обе возможные поляризации волны; отметим, что таким свойством не обладают два перпендикулярных цилиндрических детектора. Отсюда ясно, что наиболее эффективное возбуждение диска происходило бы под действием циркулярно поляризованной волны.
Численные результаты для резонансного сечения дискового гравитационного детектора из сапфира (а= 0,24, «з = 1,м0» см/с)
