Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Накоплен значительный экспериментальный опыт в технологии и эксплуатации гравдетекторов [139, 140], достаточно подробно разработана их теория; ее основные положения излагаются ниже.
146 § 6.1. УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ РЕЗОНАНСНОГО ГРАВДЕТЕКТОРА
Оценка реакции тела конечных размеров на гравитационно-волновые возбуждения, вообще говоря, требует точного решения, задачи гравиупругого взаимодействия с привлечением граничных условий. Для экспериментатора, однако, всегда важно иметь простую эквивалентную схему детектора, допускающую быстрые и наглядные расчеты основных рабочих характеристик. С этой точки зрения привлекательна изначальная модель осциллирующей гантели, которая нуждается лишь в обоснованном задании ее эквивалентных параметров.
С целью их отыскания рассмотрим одномерный цилиндр (длина значительно превышает радиус), подверженный действию гравволны, падающей перпендикулярно к его оси. Смещение и(ху t) его элементов может быть найдено из волнового уравнения
л дЧ и д2и , „ ди 1 d2h oV
P--E--\-Н-= ——р-х\ (6.3)
dt2 дх* dt 2 d*2 v '
h = hXXt р — линейная плотность массы, E — модуль упругости, H — коэффициент трения на единицу длины (предполагаемый достаточно малым для того, чтобы пространственная структура мод несильно отличалась от решений однородной задачи). Тогда смещение и(ху t) в (6.3) можно представить в виде
0=JflnW(*).
п
где ип(х) — собственная функция уравнения + /&.<*) = о,
OX2
удовлетворяющая граничным условиям свободных концов дип
дх х=±і/2 = 0;
очевидно, что
f SinfenA: при kn = (2n+ 1) я//—нечетные (антифазные) моды,
Hfi — <
(cosknx при kn = 2rinll—четные (синфазные) моды.
Подстановка и(х, t) в (6.3) позволяет (после домножения на ип(х) с интегрированием по длине цилиндра) получить уравнение для амплитуды п-й моды (#/р = 26, Ejр = ^з — скорость звука)
1/2
J xUn (х) dx
а„+2 IS^7-. (6.4)
f Utl (x) dx -І/2
147" Правая часть (6.4) отлична от нуля только для нечетных мод, т. е. гравитационная волна при нормальном падении на линейный детектор возбуждает в нем только антифазные симметричные колебания. Рассматривая наинизшую продольную моду, имеем (п = 0)
aQ + 26a0+(Ooа0 =---І- I. (6.5)
Последнее выражение при сравнении с (6.1), (6.2) дает основание для определения эквивалентной длины в гантельной моде-
4
ли гравдетектора: /экв = —Выбор эквивалентной массы не
может быть произведен на основе динамического поведения детектора, поскольку движение в гравитационном поле не зависит от массы. Для этой цели разумно потребовать равенства квадру-польных моментов протяженного и точечного детекторов. Квад-рупольный момент длинного тонкого стержня (1^>R) приблизительно равен его моменту инерции (относительно оси перпендикулярной X), т. е. D = J{— (1/12)Al/2; откуда, используя равенство (1/12) М/2=2тЭкв/экв, находим тЭкв=М/4 и D5kq= (8/я4)Ml2.
Экспериментаторы часто используют также несколько иную аппроксимацию для эквивалентной модели, исходя только из величины квадрупольного момента: грубая оценка коэффициента {8/я4) получается из разбиения M на три массы по тЭкв = М/3, из которых центральная играет роль пружины, боковые куски — рабочие массы, находящиеся в среднем на расстоянии 1/3 от центра инерции; тогда
D3kq = 2 (М/З) • (//3) 2^ (2/27) Ml2.
Таким образом, вместо реального гравдетектора цилиндрической формы для расчета эффектов его взаимодействия с гравитационной волной мы будем в этом параграфе обращаться к модели осциллирующей гантели, параметры которой связаны с характеристиками детектора следующим образом:
CO0 = JtV3Jly тэкв = М/4, /экв — (4/я2) /, D= (8/л2)MI2. (6.6)
Для описания гравитационного излучения используем формулу ОТО (§ 2.4), связывающую возмущение метрики с эквивалентной плотностью потока энергии (2.92) (см. также [1, § 107])
16 JtG
(6.7)
Здесь учтена только одна возможная поляризация плоской гравитационной волны. Если волна гармоническая A+=h0 sin cot, то средний по периоду поток энергии, переносимый волной через единичную площадь, равен
148 Наконец, этот поток можно выразить через эквивалентную силу F0f действующую на детектор типа осциллирующей гантели; в соответствие с (6.2) F0= (m/2)ico2M, что после подстановки в (6.8) дает *
з F2
' с 0 (6.9)
8 nG т2о)2/2
§ 6.2. РЕАКЦИЯ НА РЕЗОНАНСНЫЙ ЦУГ ИЗЛУЧЕНИЯ
Будем называть «резонансным цугом» импульс гравитационного излучения длительности X с прямоугольной огибающей и высокочастотным заполнением на резонансной частоте детектора (!CO = COo), т. е.
h(t) = [ hOsini0O* при 0<?<т, ^6 щ
\ 0 при t > т.
Соответствующую временную структуру будет иметь эквивалентная сила F(t) =F0 sino)ot, раскачивающая гравдетектор. Амплитуда вынужденных колебаний в простейшей модели детектора может быть рассчитана как реакция слабо затухающего гармонического осциллятора (6.5)
X + 2ox+'COo2^: = /о sin со^, /Q = F0Im,
которая при нулевых начальных условиях х(0)=0, х (O)==O имеет вид
JC (0 ~ (1 -е-*) cos оу + О (6/со0). (6.11)
^(I)0O
