Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
30 1. Векторы Киллинга на поверхности двумерного шара с метрикой ds2 = d02+sin20 d(p2. Они всегда представляют собой линейную комбинацию следующих трех векторов Киллинга: [(9, ?) = (*1, X2)] :^)=(0, 1), |(2>=(-созФ, ctg 9 sin ф), = = (sin ф, ctg 9 cos ф). Видно, что это есть компоненты генераторов группы вращений — операторов момента импульса L2, Lyy Lx в сферических координатах.
2. Векторы Киллинга в просгранстве-времени Минковского. Имеется 10 независимых таких векторов (приводим их составляющие в стандартной лоренцевой системе координат):
а) четыре вектора, генерирующие трансляции:
(A) (А)
A = 1, 2, 3, 4, (1.91)
(А)
где а»— четыре постоянных вектора;
б) три вектора, генерирующие пространственные вращения:
(Г)„ (Г)
6* = (0, ?»), (1.92)
(Г)
где Im = SinrsXsi г= 1, 2, 3;
в) три вектора, генерирующие пространственно-временные вращения (собственно преобразования Лоренца, сдвиги по скоростям без пространственных поворотов (так называемые бу-сты)) по трем осям
t = г = 1' 2' 3- {1,93)
3. Векторы Киллинга в пространстве-времени Шварцшильда с метрикой
ds2 = — (l — —) dt2 +-!-dr2 + г2 (de2 + sin 8Жр2). (1.94)
Поскольку двумерная поверхность r=const, ^=Const имеет геометрию двумерного евклидова шара, здесь существует три «вращательных» вектора Киллинга, как и в случае 1. Кроме этого, разумеется, существует времениподобный вектор Киллинга, выражающий стационарность шварцшильдова пространства-времени: 6(о=(1,0,0,0). Этот вектор перестает быть временипо-добным на горизонте (г = 2М) и под горизонтом, так как
gnv%Sw = ?oo > 0 Для г<2М (тут мы оказываемся внутри черной дыры и вне рамок данной книги).
31 § 1.4. уравнение девиации геодезических
Конгруэнция кривых, которую мы рассматривали при определении производной Ли в предыдущем разделе, может быть реализована, например, мировыми линиями частиц какой-либо жидкости. Отдельные элементы жидкости оказывают давление друг на друга, так что кривые такой конгруэнции в общем случае не
будут геодезическими. Физически
х**(а+Ьа;г)
самой простой конгруэнцией будут мировые линии частиц, свободно падающих в заданном гравитационном поле, т. е. конгруэнция времениподобных геодезических. Предположим, что эта конгруэнция описывается функциями х* (а1; т), і= 1, 2, 3, в которых выбор фиксированного а1 выделяет фиксированную геодезическую конгруэнции; здесь т — собственное время, измеряемое вдоль каждой геодезической. Рассмотрим две близкие геодезические х» (а*; т) и ^(а'+ба*; т). Их соединяющий вектор определяется как вектор, связывающей точки с одинаковым значением параметра т (рис. 1.4):
Рис
1.4. Близкие геодезические и соединяющий вектор
Ьх» = — 8а'.
даі
(1.95)
Поскольку при параметризации собственным временем вектор, касательный к геодезической равен 4-скорости U», последняя играет роль вектора I» из предыдущего раздела, т. е. касательна к кривым конгруэнции и т играет роль параметра v. Отсюда имеем
Jkf
и
:0.
(1.96)
Тогда достаточно задать соединяющий вектор при одном значении т и во всех точках геодезической его можно вычислить с помощью переноса Ли. Может, конечно, оказаться, что соединяющий вектор не будет перпендикулярен к U(Рассмотрим две близкие времениподобные геодезические в пространстве-времени Минковского, такие что вдоль них изменяется только координатное время Ti т. е. частица покоится в рассматриваемой системе координат. На мировой линии одной из частиц примем т =T, параметром второй мировой линии будет время, сдвинутое на постоянное значение: r=T+k. Тогда векторы, связывающие точки
32 с одинаковым т, не будут перпендикулярны к U».) Введем тензор проецирования
Itf = 6?+ (ZvIZ14f (1.97)
который характеризуется тем, что для произвольного вектора Au его проекция перпендикулярна U». Вместо 8xv вве-
дем тогда ортогональный связывающий вектор
ті jaSII^Xv, (1.98)
который, как мы можем легко убедиться, удовлетворяет тоже условию переноса Ли по отношению к полю U:
Jifrj^O. (1.99)
и
Теперь в нашем распоряжении есть все математические выражения, необходимые для вывода уравнения отклонения геодезических. Это уравнение должно ковариантным образом определить относительное ускорение одной частицы относительно другой при свободном падении в гравитационном поле, т. е. определить вторую (абсолютную) производную ортогонального соединяющего вектора по собственному времени. Из выражения для производной (1.99) получаем D(Xv^)Idx = Q. Левую часть этого
выражения можно преобразовать с помощью (1.84) (при преобразовании приведенного ниже выражения использовано (1.99)):
(Djdx) [^jLfi-?/;V] =(Dfdx) [(DIdx) TIja -JZ^v] = = (D2/dx2) Ц11-U^tkUSv-UfXkUk = = (D2Idx2) TIja-LftxtzY—IfttZ.^ =
= (D2Idx2) TIja - [U^k -tZSuv] CZ Y - №/*];V Tf.
Коммутатор вторых производных U» выразим с помощью тензора Римана (см. (1.35)), член во второй ковариантной скобке исчезнет вследствие того, что речь идет о геодезической. Окончательно приходим к известному уравнению отклонения геодезических:
