Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
В данном параграфе мы приведем стандартное и наглядное определение сохраняющихся величин в ОТО с помощью комплекса энергии-импульса Ландау—Лифшица [1]. Посредством этога нековариантного (нетензорного) объекта удается ввести глобальные сохраняющиеся величины энергии и импульса в асимптотически плоском пространстве-времени, если использовать также асимптотически лоренцевы координаты, так что метрика gдостаточно быстро стремится к метрике Минковского Tjjxv на бесконечности. Оказывается, что полная энергия и импульс при этом совпадают с соответствующими величинами, определенными ковариантным образом с помощью конформной трактовки бесконечности (см. [16] и статью Брила, Юнга в сборнике [8] для случая пространственной бесконечности и статьи Персидеса [275, 276] для световой бесконечности).
Причина, по которой мы предпочитаем работать с комплексом Ландау—Лифшица, заключена не только (и не столько) в простоте его введения. Важно то, что его усреднение по характерному масштабу приводит нас к некоторому эффективному тензору гравитационной волны (гл. 2, 4); кроме того, как математический объект этот комплекс используется в приближенных методах расчета (гл. 4).
В конце параграфа мы изложим новый метод, который позволяет определить полную энергию и импульс в координатной системе, относительно медленно переходящей в лоренцовскую на бесконечности.
Известно, что в СТО тензор энергии-импульса изолированной системы удовлетворяет закону сохранения энергии-импульса
закону сохранения момента импульса (относительно начала ко ординат)
Из этих дифференциальных законов сохранения можно вывести интегральные законы сохранения. В дальнейшем будем 7>v кратко называть тензором энергии-импульса материи. В присутствии гравитации (1.107) принимает вид
Однако отсюда интегральные законы сохранения не вытекают. Для того чтобы из дифференциального закона сохранения следовал интегральный, надо, чтобы в нуль обращалась обычная, а не ковариантная, дивергенция тензорного поля, потому что только в этом случае мы можем воспользоваться теоремой Гаусса.
Интуитивно мы не должны ожидать, что при взаимодействии материи с гравитацией будет сохраняться полная энергия-им-
(1.107)
(ZTliv-^v)iv = 0.
(1.108)
(1.109)
36 пульс материи. Если система «материя +гравитационное поле> нестационарна, будет иметь место излучение гравитационных: волн, которые могут уносить (по аналогии с другими полями) энергию-импульс, так что энергия-импульс материи будет уменьшаться. Конечно, если бы удалось уничтожить в какой-то области гравитацию, то там выполнялся бы закон сохранения энергии-импульса материи. Во многих случаях можно в окрестности данного события выбрать ЛИСО («падающий лифт»), которая будет с точностью, достаточной для данной задачи, инерциаль-ной системой в относительно большой области. В этой области ковариантный закон сохранения (1.109) примет спецрелятивист-скую форму (1.107). Тогда его можно в рассматриваемой области интегрировать, как это делается в СТО.
В общем случае системы «материя+ гравитационное поле» естественно стремиться к закону сохранения, обобщающему (1.107). Тогда дифференциальный закон сохранения должен содержать не ковариантные, а частные производные; его можно представить в форме
где неизвестные пока величины ^v ассоциируются с чисто гравитационным полем; они должны удовлетворять дифференциальному закону сохранения в вакууме, где Tixv=0 (фактор (—g) = =—det(gVv), который внесен в (1.110), обеспечивает симметрию ^v). Этот закон должен выполняться в любой системе координат, так что (1.110) должно иметь место в произвольных координатах и, значит, № не могут быть компонентами тензора (в противном случае обычная дивергенция после перехода от ЛИСО к обобщенной системе координат перешла бы в ковариантную дивергенцию). Величину ^av будем называть комплексом энергии-импульса гравитационного поля. (В литературе, например в [1], эта величина называется псевдотензором; однако псевдотензором называют также величину, преобразующуюся аналогично тензору, с отличием лишь в знаке якобиана, см. (1.17).) Потерю ковариантности в t»v мы рассмотрим ниже, а пока найдем ^v при условии выполнения закона сохранения (1.110). При этом мы предполагаем справедливость уравнений поля (1.70).
Разрешим (1.70) относительно T»v и после умножения на 16 запишем (1.110) в виде
Это уравнение должно выполняться тождественно. По аналогии с выражениями для энергии в негравитационных полях предположим, что t»v зависит только от метрического тензора и его первых производных, причем зависимость от первых производных (играющих роль напряженности гравитационного поля) должна быть по возможности квадратичной. В (1.111), разумеется, присутствуют также первые степени вторых производных мет-
[(-g) (T^ + *¦»)], V = O,
(1.110)
[(—g) (2G^V+ 16tt^v) ], v=0.
(1.111)
37 рики, входящие в G^av. Подобно тому как уравнение divB=0 выполняется тождественно, если B=rotA, Т. е. если Bi=EijkAkJ=
Uij, jt где Uij=—Uji=EifhAhy уравнение (1.111) превратится в тождество, если выражение в квадратных скобках в (1.111) будет иметь вид
