Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
3. В случае изолированных систем, когда пространство-время асимптотически плоское, существуют некоторые глобальные характеристики, использование которых приводит к более глубокому описанию изолированных систем в ОТО. Вполне ковариантным образом тогда можно определить вектор энергии и импульса на пространственной бесконечности, который сохраняется и для положительной плотности энергии материи дает положительную полную массу-энергию системы «материя+гравитационное поле». Определение этого вектора следует из рассмотрения уравнения отклонения геодезических в асимптотическом подходе и требует конформной трактовки пространственной бесконечности. Далее с помощью конформной трактовки световой бесконечности можно ковариантно определить так называемый вектор энергии и импульса Бонди. Энергия Бонди — невозрастающая функция запаздывающего времени; она убывает за счет гравитационного излучения, уходящего на световую бесконечность. Энергия Бонди также положительна, если локальная плотность энергии материи положительна. Все эти элегантные и строгие результаты последних лет содержатся во многих статьях, полезные обзоры можно найти в [8, 16].
В нашем изложении введенные полная энергия и импульс (1.122) изолированной гравитирующей системы посредством комплекса Ландау—Лифшица имеют смысл только в АЛК, в которых соблюдаются условия (1.117); тогда они ведут к тем же результатам, как и вышеупомянутые их ковариантные определения.
45 Из последних результатов по проблеме энергии в ОТО изложим процедуру, недавно предложенную Нахмад-Ахаром и Шут-цом [277], которая разрешает использование комплекса энергии-импульса в произвольных координатах и ведет к тем же результатам, которые следуют из АЛК. Этот наглядный метод будет полезен также в других задачах ОТО. Он обобщает работы [275, 276], в которых показано, что комплекс Ландау—Лифшица ко-вариантно определяет полную энергию и импульс Бонди на световой бесконечности.
Пусть Ж—пространство-время, описывающее изолированную систему, так что в некоторой окрестности на бесконечности существует АЛК с метрикой g^. Свяжем с этой окрестностью окрестность плоского пространства-времени Jt{F) с лоренцевой метрикой
= Поскольку Ж является 4-мерным многообразием, то
по определению существует взаимно однозначное координатное отображение ф из Ж в R4, которое «распрямляет» координаты в Ж. Далее рассмотрим объекты g(—g)=—det(gvv) как тензорные поля и скалярную плотность веса 2; они будут иметь одинаковые компоненты в Ж{?) ив Ж, так как ф есть просто координатное отображение. Выражение Н\(см. (1.114), (1.115)) является тензорной плотностью с весом 2 в и имеет те же компоненты в Ж{?\ что и в Ж в координатах АЛК.
Для простоты будем далее обращаться только к энергии системы (см. [277] в общем случае энергии-импульса с учетом также Других комплексов fM-v), запишем энергию в форме (ср.
где 5 — поверхность, лежащая на гиперповерхности ?=const и охватывающая изолированную гравитирующую систему в асимптотически плоской области вдали от нее. Это выражение легко сделать ковариантным по отношению к общим преобразованиям пространственных координат в Ж^?) при ?=const. Частные производные следует заменить ковариантными по отношению к метрике ^ = tIjl1V, которая после преобразования переходит в
обозначим их вертикальной чертой в отличие от ковари-антных производных по отношению к метрике g^v, которые, как обычно, обозначены точкой с запятой. Элемент d^Sj есть векторная плотность веса (—1) при преобразования^ пространственных координат для *=const в Жпоэтому H0^yi { — giF))~l/2d{2)Sf есть скаляр (отметим, что —g(F)=y(F)f где y(f> — детерминант
о о —(F)
пространственной метрики), который при StILiv=irIiLiv переходит в подынтегральное выражение в (1.134). Следовательно,
(1.122) для |i=0)
(1.134)
S
(1.135)
46 йе меняется в рассматриваемых преобразованиях. Преобразование в JjrW индуцирует однозначно преобразование в M1 такое что по своей форме оно совпадает с преобразованием в J({F), Энергию системы в Ж в новых координатах, которые, вообще говоря, не будут АЛК, определим формулой (1.135). Естественно, получим тот же самый результат, что и в исходных АЛК. Таким образом, можно пользоваться комплексом Ландау—Лифшица (и другими комплексами) для вычисления полной энергии и импульса в системах координат, отличающихся от АЛК. В [277] показано, как практически следует поступать, если «исходные» АЛК не известны.
Подчеркнем, что плоская метрика S^ = 1Vv ЗДесь играет только вспомогательную роль при вычислении энергии-импульса в общих координатах. Никаким физическим значением она не обладает.
Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим вакуумное решение Шварцшильда. В стандартных учебниках, например [2, 6], подчеркивается, что вычисление полной энергии с помощью комплекса энергии-импульса можно провести только в координатах, в которых g?V переходит в Tjliv на бесконечности. Однако внимание на то, как быстро gстремится к Tjtiv, обычно не обращается. Недавно в работе [272] ясно показано, что мы приходим к лишенным физического смысла результатам, если, например, не имеет силы упомянутая асимптотика (1.117), а реализуется более слабый темп перехода g^=^+ О (г~1/2).
