Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
+ ^xtAlVc - 0. (1.100)
dx2
При физической его интерпретации удобно совместить с первой частицей ортонормированную тетраду {tZ^, 2?}, которую мы рассматривали в § 1.2. Поскольку частица падает по геодезической, перенос Ферми — Уолкера переходит в параллельный перенос, так что тетрада не будет вращаться, если De^iJdr = 0. Предположим, что это выполнено, и разложим по векторам тетрады
2 И. Бичак, В. Н. Руденко 33 ортогональный соединяющий вектор тр, направленный от первой частицы
Tl^=Tfe*?, (1.101)
где ej^ = обозначает тетраду, дуальную е(К), т](1)(х) —
метрика Минковского. Поскольку ^fi ортогонален вектору U^^efo), ненулевыми будут только пространственные составляющие т|(г'>. Умножим уравнение отклонения геодезических на ej?, используем (D/dt) eft = 0 := (D/dr)^ и тот факт, что компоненты разложения по тетраде — скаляры (так что для них Djdx= =d/dx). В результате получим весьма простое и наглядное уравнение
^ + Kibtft = O, (1.102)
dx2
где
/($ = e^U* = /?$ (/) (0). (1.103)
Поскольку индексы тетрады поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского, ковариантные и контравариантные индексы различать не обязательно, — пространственные компоненты тензоров являются декартовыми в ортонормированном базисе, связанном с первой частицей. Компоненты т](і) являются координатами вектора положения X9 направленного от начала координат (где находится первая частица) ко второй частице. Уравнение (1.102) можно переписать в более наглядном виде:
^f=-Ri OiOXj. (1.104)
dt1
Здесь мы опустили скобки у индексов, как это принято при использовании этих соотношений, например, в теории детектирования гравитационного излучения (см. гл. 6); а собственное время т обозначили через t.
Уравнение отклонения геодезических в виде (1.102) является прямым обобщением классического уравнения для относительного ускорения двух частиц, свободно падающих в поле тяготения. Пусть Ф — потенциал (ньютоновский) поля; Xі — декартовы координаты первой частицы, тогда Xі+ — координаты второй частицы. Уравнение движения первой частицы есть Xi=—дФ(х)/ /дх\ второй частицы х{ + ц{=дф (х + ц) /дх{=—дФ/дх{ — [д2Ф/ /дх*дхэ]цЗ, откуда вычитанием получим уравнение для относительного ускорения
+ KiV=O, (1.105)
где
= (1.106)
дх^дх)
34 Выражение (1.105) не только имеет тот же вид, что и (1.102), но Kij В (1.106) симметрично по t, /, как и /C(i)(j) в (1.103); кроме того, Rii=AO=O (закон всемирного тяготения Ньютона в вакууме) аналогично К\о = Rmm = ЯІокіко) = Rmo) = 0 (уравнение Эйнштейна для вакуума Rliy=0, спроецированное на 4-скорость). Это вполне согласуется с принципом соответствия § 1.1.
§ 1.5. энергия и импульс гравитационного поля
в эйнштейновской теории
Понятия энергии, импульса и момента импульса гравитационного поля в рамках ОТО сложнее, чем в полевых физических теориях, сформулированных в (априори заданном) плоском пространстве-времени Минковского.
Трудность определения этих традиционных для классической физики понятий и соответствующих законов сохранения заложена в самой структуре ОТО как геометризованной теории, в которой метрический тензор и переменная, описывающая гравитационное поле, тождественно совпадают. Допустимость произвольного риманова пространства как геометрического выразителя произвольного гравитационного поля в ОТО не гарантирует существования полного набора законов сохранения. Последние, как известно, связаны со свойствами симметрии пространства, и максимальный набор (10) имеет место для пространств постоянной кривизны, в частности, для пространства Минковского в СТО (подробнее см., напр., в [269—271, 274]). Большинство специалистов, работающих с ОТО, полагают, что полная энергия и импульс изолированных, пространственно ограниченных систем масс (в отличие от локальных характеристик) могут быть определены вполне удовлетворительно в рамках эйнштейновской теории.
Наряду с этим продолжают появляться критические работы, авторы которых считают, что введение сохраняющихся величин в ОТО, особенно на основе различного рода комплексов (псевдотензоров) энергии-импульса, лишено физического смысла (наиболее аргументированная и развернутая критика в этом направлении принадлежит школе А. А. Логунова [269, 272—274]). Более того, строгое ковариантное и однозначное определение полного момента импульса в рамках ОТО пока не найдено даже для ограниченного класса изолированных (островных) излучающих систем (последний обзор теории асимптотически плоских пространств с островными источниками содержится в статье Аште-кара [16]). Что касается строгого ковариантного определения энергии и импульса изолированных систем в ОТО, то оно строится не на комплексах (псевдотензорах) энергии-импульса, а на конформной трактовке пространственной и световой бесконечности асимптотически плоских пространств-времен (т. е. когда переход к бесконечности осуществляется вдоль пространственных или световых направлений). Такая трактовка [16, 35, 39], одна-
2*
35 ко, требует относительно сложного математического аппарата, которого мы коснемся в гл. 3.
