Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы описать производную Ли математически, надо уточнить характер отображения f и определить, каким образом вектору в P ставится в соответствие перенесенный по Ли вектор в Р. Наглядно отображение можно создать с помощью понятия конгруэнции кривых, т. е. множества кривых, из которых через любую точку проходит только одна. Пусть координаты Xfi по-
АЛIH-V
х*(р) хПр)
Рис. 1.3. К понятию производной Ли. вектора
Рис. 1.2. Диффеоморфизм области D на D
крывают области DnD. Тогда эту конгруэнцию можно описать функциями = и), в которых фиксированный выбор пара-
метров а1 (i = 1, 2, 3) выделяет определенную, фиксированную кривую конгруэнции, а и — параметр, меняющийся вдоль каждой кривой. В данных координатах можно теперь отображение D в D записать как точечное преобразование Xfi-^Xjl(Xv), где хм = =Zti (а1; и), X11=Iil (al\ v), т. е. соответствующие друг другу точки лежат на одной кривой конгруэнции, но имеют разные параметры V1 v. Если v = v (для всех и), имеем тождественное отображение. Если v = v + ov (6у мало, но фиксированно), имеем бесконечно малое отображение. Тогда можно записать
ХГ-+Х» = X» + 8^ (xv), (1.76)
где e = ov — бесконечно малое приращение параметра; = = dx»/dv — векторы, касательные к кривым конгруэнции в точках Xі.
Как геометрические объекты переносятся теперь из D в D? Можно показать [7], что каждый геометрический объект (тензор, дифференциальная форма и т. п.) можно изобразить некоторым бесконечно малым объектом (например, на рис. 1.2 контра-вариантные векторы изображены маленькими стрелками). Перенос Ли означает, что переносятся отдельные точки этих объектов с помощью заданного отображения, т. е. с помощью конгруэнции кривых. Если на рис. 1.2 кривые, направленные от D к Dy являются кривыми нашей конгруэнции, то вектор PQ испыты-
26 вает перенос Ли, если его начальная и конечная точки скользят по соответствующим кривым, так что изменение параметра для обеих точек одинаково.
Нам достаточно провести эти рассуждения лишь для вектора. Действительно, если известна производная Ли векторов, то производную Ли тензоров легко определить, требуя, чтобы для нее выполнялось правило Лейбница дифференцирования произведения векторов, которое можно сопоставить тензору.
Предположим, что отображение имеет вид (1.76). Еще раз обращаем внимание на то, что (1.76) не является преобразованием координат, а есть преобразование точечное, ставящее точке P с координатами х» в соответствие точку P с координатами х11 (в той же системе координат).
Рассмотрим теперь скалярное поле ф; в точке P имеем скаляр <р (ATja) . Поскольку речь идет о скаляре, потребуем, чтобы при отображении на P его значение сохранялось. Переносом Ли скаляра из P в P тогда получим <p|p-^pss<p (^) = 9(*14). В точке P имеем скаляр ф|р = ф (-О. С точностью до величин высшего порядка малости по є имеем ф (х^) =<ф (х^) + ©ф>р?о. Производная JIu скаляра по отношению к полю ^ определяется так:
Jgv = 1 im ± [фI -р - ф I = 1 im -і- [ф (?х)- ф (Xja)] . (1.77)
Из выражений для ф(х^), ф(х^) следует
= (1.78)
Рассмотрим теперь поле контравариантного вектора А*. В каждой точке такой вектор можно рассматривать как касательный к некоторой кривой, параметризованной подходящим скалярным параметром X: All=dxll/dX, причем dx11 — компоненты бесконечно малого вектора PQ на рис. 1.3 (таким образом, можно и «конечный» контравариантный вектор изобразить бесконечно малыми стрелками). При отображении (1.76) P перейдет в Py Q — в Q, и поэтому по определению A^(x)dX перейдет в A»(x)dX, так что (рис. 1.3) M(x)dX=A^(x)dX+^(x+dx) — — е^(х) =A^x (x)dX+S^fvAv dX; поэтому вектор, полученный из A^ (х) с помощью переноса Ли есть
A11(X) = A11(X) + еі%А\ (1.79)
В точке P есть также вектор исходного поля Av(х).
Производную Ли контравариантного вектора A^ по отношению к определим аналогично определению производной Ли скаляра: <? A* = Wm г~~х [Alx (х)— А11 (х)]. Представив А»(х) в
І Є-+0
97 виде разложения А^(х) =А^(х) и подставив его вместе
с (1.79) в получим
J= — (1.80)
Теперь можно определить производную Ли произвольного тензора, исходя из определений производных Ли скаляра и вектора и требуя, чтобы выполнялось правило дифференцирования произведения. Например: для ковариантного векторного поля Bil требуем, чтобы при произвольном векторном поле Av было справедливо (A11B11) = (3 АBll + A11 ^B11. Из производных Ли ска-
ляра (1.78) и контравариантного вектора (1.80) найдем [<? Bll—
—BlltvIv—BvIvfll] A = 0. Вследствие произвольности A? должно выполняться соотношение
^ Bll = BllfvIv+ BvIl. (1.81)
Наконец, положив Tvlv=AvlBv и использовав (1.81), найдем, что
?? ^lLiv = THV,р|Р + ^PvЙА + ^jLlpip.V. ( 1 .82)
Выражение (1.82) определяет производную Ли для произвольного ковариантного тензора второго ранга, причем не только для такого, который можно представить в виде произведения двух векторов.
Для тензорной плотности веса w с одним контравариантным и: одним ковариантным индексами получим
= З^р -3? + + W^lP1 р, (1.83)
