Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
eaw=(-g)l/2e*w. (1.17)
12 Легко убедимся, что еартб преобразуется как тензор (с точностью до знака А). Величины, которые преобразуются как тензоры, за исключением знака А, называются псевдотензорами. При преобразованиях, к которым можно непрерывно перейти от тождественного преобразования, всегда Д>0, и тогда (1.17) будем называть просто тензором Леви-Чивиты. Контравариантные компоненты тензора Леви-Чивиты можно получить поднятием индексов:
= (— grr1/2ea?vo, (1.18)
где мы воспользовались тем, что det(gra?) =gT_1 и ea?TO = —єартв. Для нелинейных преобразований мы не можем из тензоров создавать новые тензоры с помощью частных производных. Дифференцируя, например, закон преобразования вектора Ла, получим
дА'а ^ дх'а дху Mp дЧ'а дху л (] ]дч
дх** ~~ дх* дхр dxV дх* дх$ дх/р ' ( ' )
Второй член «нетензорного» типа появляется также в преобразовании аффинной связности. Вводя аффинную связность согласно (1.5), при этом переходя один раз от ЛИСО к координатам jcV а затем — к координатам получим, что
р'сс_ дха дх* dxv J-Iя, , дха дЧ° п Qm
Используя (1.19), (1.20) и (1.11), можно показать, что ковари-антная производная вектора,
4вр=л«р+сл°, (1.21)
ведет себя как тензор второго ранга. Аналогично в случае кова-риантных компонент величина Bat0 = Bat9—Tpc^a имеет тензорный характер.
Для ковариантной производной произвольного тензора получим
rp\iv... rp!AV... pa 741V... pa ^njAV... - рц. rpov... , pv rp[io...
J- a?:..;p — * a?...,p— -1 pa* a?... — -1 p?' aa... • • . T" pa* a?. ..ті pa* a?....
(1.22)
Ковариантную производную тензорной плотности веса w определим так: сначала умножим на (—g)~w/2, образовав тем самым тензор, найдем его ковариантную производную и вновь умножим на (—g)w/2 — получим тензорную плотность веса w (конечно, на порядок выше рангом, поскольку у нее будет на один ковариант-гный индекс больше):
(1.23)
13 Ковариантная производная тензорной плотности, таким образом* имеет такой же вид, (1.22) как и ковариантная производная тензора, лишь T следует заменить на за исключением дополнительного члена:
= (1.24)
2 (-g) дХР
При записи (1.24) было использовано соотношение для производной определителя метрического тензора
которое следует из теоремы о производной определителя и из
(1.7), (1.8).
На выражении (1.25) или, точнее, на его следствии
= (1.26>
Y —ё
основывается доказательство следующих (часто встречающихся) специальных случаев ковариантных операций:
A^^L^iy—gA*)^
ту=-L- [V^ Tiw) .V + rfcr*.
Vi
? Y = YjU= -J= (V^rtaU V —g
A[ifV Av- p. — Ayi, v AVt Jjl;
^iM-V, Plcykl = ^lAV, P + Д?Р,|А + ^PIA1V = ^[!Av;p3sykl ДЛЯ ^IAV = ^VJLti
(cykl—индекс циклической перестановки),
= O^1А »
JL^ = JLTv для оГ = - оГ.
= для (1.27)
где Ttiv, Y — вектор, тензор, скаляр; W^ = glinFwv, ^mv — антисимметричный тензор; ^tiv, ^v — векторная, антисимметричная тензорная и симметричная тензорная плотности веса 1.
Из (1.7), (1.8) и определения ковариантной производной тензора (1.22) следует, что
SrM-Vip = slpV — O|A;P — 0> (1.28)
так что метрика является ковариантно-постоянной и поднимать и
14 опускать индексы можно независимо от ковариантнои производной.
Из определения ковариантной производной тензорной плотности (1.23), из (1.24) и (1.26) следует, что тензор Леви-Чивиты (1.17) и (1.18) также ковариантно-постоянен:
ea?v6;p =^6-O. (1.29)
Если в пространстве-времени задана некоторая кривая ATti(T) и тензорное поле вдоль нее 7"?;;:, то ковариантную производную вдоль кривой (абсолютную производную) определим как
= (1.30)
dx dx
После взятия абсолютной производной получается тензор того же ранга.
Часто бывает, что какой-нибудь вектор вдоль некоторой кривой, например мировой линии частицы, не меняется, если за ним наблюдать из ЛИСО, т. е. в ЛИСО имеет место соотношение іiA»jdx = 0. Однако в ЛИСО gVv = rbv, так что T^v = O, откуда следует
DA*
dx
:0. (1.31)
Это ковариантное выражение, которое справедливо в таком виде в любой системе отсчета. О векторе, удовлетворяющем выражению (1.30), говорят, что он испытывает параллельный перенос. (В ЛИСО это соответствует нашему интуитивному представлению о параллельном переносе — компоненты вектора не меняются.) Уравнение (1.31) можно записать в произвольной системе координат (см. (1.21)) в виде
^ + —^v = O. (1.32)
dx dx
Если под А11 подразумевается 4-скорость (1.9), получаем уравнение геодезической (1.3). Его можно записать в виде условия DUilIdx=O, т. е. геодезическая — это кривая, вдоль которой вектор, касательный к ней, испытывает параллельный перенос. (Полученные результаты справедливы также для пространственнопо-добных и нулевых (светоподобных) геодезических.)
Если мы, используя правила ковариантного дифференцирования вектора и тензора второго ранга, рассчитаем коммутатор вторых ковариантных производных какого-то векторного поля, то получим (в отличие от коммутатора вторых частных производных) в общем случае ненулевой результат:
Vv;>a — УгА; X = > (1.33)
