Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
g) (Tjav + ev) d3Sv, (1.118а)
где d(3)Sv элемент гиперповерхности 2. Отсюда имеем P11Izt = =P11Ix2. Если S задана условием x°=?=const, то (1.118 а) можно переписать в виде
P?= f (-g)(T?0+t?0)di3)x. (1.118b)
f=const
В отсутствие гравитационного поля везде можно ввести лоренце-вы координаты, в которых и (1.118 а, в) перейдут в за-
кон сохранения полного 4-импульса материи с тензором энергии-импульса T^ (СТО).
Таким образом, величины (1.118а, в) можно интерпретировать как полный 4-импульс материи и гравитационного поля. Ясно, что такая интерпретация существенно зависит от использования АЛК, в которой выполняется (1.117). Важно, однако, что АЛК всегда можно ввести вокруг изолированной системы естественным образом в силу асимптотической плоскостности пространства. В других, не АЛК, координатах при расчете интегральных соотношений следует исходить из ковариантных выражений, получающихся в конформной трактовке бесконечности [16], или воспользоваться методом, который будет изложен в конце данного параграфа.
Для определения энергии-импульса, излученных системой, окружим систему фиксированной двумерной поверхностью Sy расположенную в асимптотически плоской области вдали от системы. Скорость убывания полного 4-импульса системы (материя плюс поле тяготения) получим в виде
= (Tw+ nd^S,, (1.119)
5
40 где d(2)Sj — 3-вектор, лежащий на гиперповерхности ?=const и перпендикулярный к S.
Здесь следует учитывать конечную скорость излучения и при интегрировании по S на больших г нужно предполагать также достаточно большое X0 = t. В строгой теории это означало бы, что мы находимся вблизи световой бесконечности (§ 3.3) (в СТО это соответствует пределу т—>-оо при фиксированном запаздывающем времени u=t—г). В AJIK, конечно, будет выполняться асимптотика ^=т]^+0(г-1), однако, в отличие от второго условия (1.117), в присутствии излучения ?^,^0(/""1) и fM.v~0(/-2) даст вклад в интеграл по S. Чаще всего через поверхность 5 поток материи не протекает, так что вместо (1.119) можно записать
dP»
dt
= (1.120)
т. е. система теряет 4-импульс только за счет излучения гравитационных волн. Соотношения (1.119) и (1.120) проще всего доказать, используя дифференциальный закон сохранения (1.110) и теорему Гаусса в трехмерном пространстве:
dP*
J [(-^)(^0 +Г)] Л=
dt dt
f=const
- J к-0(7"10+<¦*)].оЛ =
f=const
= J [(- 8) + tw)h Л= § К- g) (Г> + *"')] d{2)sh
/=Const S
Выражение для комплекса энергии-импульса материи и гравитационного поля через суперпотенциал можно получить с помощью (1.112), (1.114) и (1.115):
(- g) (^v + П = hT = (1.121)
16я 1 оя
Вместе с A^00=O (см. (1.113)) это дает возможность представить полный 4-импульс (1.118) в виде интеграла по двумерной поверхности, окружающей систему
Pli= J -^r hT^x = ^r ф H^sh (1.122)
*=const S
где Hii0J'* дается выражением (1.115). Следовательно, в AJIK полную энергию-импульс изолированной системы в ОТО можно выразить при помощи величин, характеризующих гравитационное поле в асимптотически плоских областях вдали от системы материи в виде интеграла (1.122). Похожая ситуация имеет место в
41 классической электродинамике, где полный заряд системы заряженных частиц можно определить как интеграл по поверхности на бесконечности, окружающей систему (теорема Гаусса). Через суперпотенциал можно выразить скорость убывания полного 4-импульса (1.119) или (1.120) в виде
dP»
1— ф Ht^Sj = H^Si. (1.123)
dt 16я
S S
В асимптотически плоском пространстве-времени можно ввести радиальную координату г, которая вдали от ограниченной системы материи имеет смысл радиальной координаты СТО. При расчетах в качестве поверхности S наиболее часто выбирают сферу радиуса r=const при достаточно большом г, так что
d{2)Sf = -j-r2sinmdq> = nir2dQJ (1.124)
а из (1.122) и (1.123) следует
= ф H^nfdQ9 (1.125)
r=const
dP» = 1
dt ~~ ІбЯ
r=const
j) Hy?xnfr2dQ. (1.126)
Если поток через поверхность S обусловливается только гравитационным полем, получим для мощности гравитационного излучения (т. е. для энергии, протекающей через поверхность S в единицу времени) выражение
Ф «,,Ло_
T=COnst
ф HiHtnfdQ9 (1.127)
16я
r=const
где t0i или H00Iyi необходимо вычислять по (1.116) или (1.115). Наконец, полная энергия системы есть
E = P0= H^nfdQ. (1.128)
T=COnst
Поскольку ^v симметрично, можно сформулировать закон сохранения момента импульса. Дифференциальный закон сохранения
[х% (— g) (Tliv + Н—^ (- 8) (TXv + <Xv)].v = О (Ы29)
42 свидетельствует о том, что сохраняются величины /M=—/и\
J [/ (_ g) (Tli0 + Г) + **(-?) (Тм + txo)] d(\ (1.130)
/=Const
которые описывают полный момент импульса системы.
Мы уже отмечали, что строгого ковариантного и однозначного определения полного момента импульса излучающей изолированной системы пока не существует даже в формализме конформной трактовки бесконечности [16]. Аналогичная ситуация имеет место в отношении определения центра масс такой системы. Оба эти обстоятельства связаны с тем, что асимптотическая симметрия на световой бесконечности включает также так называемые супертрансляции, кроме элементов группы Пуанкаре. Тем не менее в AJIK и в линеаризованной теории (гл. 2) полный момент импульса (1.130) и центр масс имеют разумный физический смысл. Если выбрать систему координат, в которой центр масс покоится, то можно показать, что J0m=O и тогда полный момент импульса определяется антисимметричными компонентами Jlm= =—Jml1 причем
