Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, в изотропных координатах метрика (1.133) имеет на бесконечности асимптотику ?ду=л^+0(г_1) и это ведет к результату P0=M [2, 6]. В работе [272] совершается преобразование от изотропных координат я0, Xi = (х, у> z) к новым координатам л:0, Xі по формулам
xi==xi[\ + f(r)]9 X0=X01 (1.136)
где F= [(*1)2+ С*2)2+ С*3)2]1/2 и f(г) — положительная несингулярная функция, удовлетворяющая условиям
Iim f (T) = O1 Hm Ffr (г) = O1 (1.137)
г-*-°С Г->00
где штрих обозначает производную по г. Таким образом, данное преобразование есть перенормировка радиальной координаты. Примером такой функции, используемой в [272], является
f (?) = а2 (8M/г) 1/2 [ 1 _ ехр (—г2?) ], (1.138)
где а, є — произвольные ненулевые постоянные. При таком выборе f легко показать, что в новых координатах ^=11^+0(/*-1/2), так что асимптотика (1.117) не имеет места. Если теперь вычислить энергию по формуле (1.134), т. е, с обычными производцы-
47 ми, в координатах Xі, то придем к результату (см. формулу (28) в [272])
1 + .. ]Ч
_м_і»
2r(l+f)
po = J-lim г3(/')2(1 + /)2
^ Г-+OD і
+ 2М(1+/)г(1+/ + гГ)[і + 2?(1М+П ]7}- (Ы39)
Отсюда, учитывая (1.137), имеем P5 = -Hm [2 M+~r3(/')2],
^ Г "->00
и, в частности, при выборе f в форме (1.138) получим P0=* =Л1(1 + а4). Таким образом, ввиду произвольности а «энергия» системы может принимать любое заданное значение в зависимости от выбора пространственных координат.
Для выхода из этого «кризисного» положения обратим внимание на то, что в координатах Xі асимптотические условия (1.117) не выполняются, и поэтому пользоваться простой формулой (1.134) для вычисления полной энергии уже нельзя. Мы должны или исходить из ковариантного определения в рамках конформной трактовки бесконечности [16], или воспользоваться только что изложенным методом Нахмад-Ахара и Шутца. Ясно, что системы координат Xі и Xі имеют место как в Jjfr, так и в JHfK Если выполняется преобразование (1.136) в J((F\ где исходная метрика есть т]Цу (т. е. метрика Шварцшильда в изотропных координатах с массой M=0), то после преобразования получим
gVo = -1, IS = Fbab + Gxaxbt (1.140)
где
Z7 = Cl+/)2, 0=2(1+/)(/70+(/')2.
(Отсюда видно, что даже в плоском пространстве при / в форме* (1.138) получается асимптотика 0(г~1/2) и, следова-
тельно, любое значение для полной энергии (независимое от M), если оперировать формулой (1.134).)
Исходя из (1.140), вычислим коэффициенты аффинной связно-
-a(F)
сти r?v по обычным формулам (1.7). Неисчезающими оказываются выражения
_ (F) _ _ _ _ ___
Tamb = (2rF) [F'(xb6am + xm8ab-xaomb)+GfXaXbXrn + + 2}Gxa^b +HFf (2xaxbxm-Mmb) +
+ HGfT2XaXbFm + 2HGr3xaomb], (1.141)
48 Itf=(¦Y ?~lf' + G+TG'7+ T нр7? +
//GV8+ //Gri),
где H=—GI(F+Gr*).
Ковариантная производная тензорной плотности веса 2, содержащаяся в (1.135), дается формулой (см. (1.23))
(F\ (F)
HfI0Jyi = + ГрХ Hpofyi + T0pyi яор/к +
+ Hoopyi+Ц^н00^-2тСн0т.
—Q {F) -ЛП
которая в нашем случае (когда Грх = 0 = Гбр ) переходит в
(F) (F)
H0iT = H0T + Fmb H00mb-Tppm H00im. (1.142)
Здесь в величинах
#00jx= (gOOgjx _ gOjgOx) ( 1.143)
метрика получена в изотропных координатах из после преобразования (1.136):
= — AXlAL9 g*b = A~+F~~x [6fl* + HXaXbI
(1.144)
?fl = 0,
где А±= (\±Mf2rF). Подставляя (1.141), (1.143), (1.144) в (1.142), учитывая, что d(2)Sj=ujr2dQ=Xjr SinQdQdy9 после прямых вычислений получим окончательно из (1.135)
P> = Allim [l + ^ Г(1+/ + гГ)(1+/)» = М-
T^L 2г (1 + f) J
Легко видеть, что, даже если f не подчиняется условиям (1.137), все равно получим P0=M9 если учесть преобразование d(2)Sj.
Таким образом, можно пользоваться комплексом Ландау— Лифшица и в координатах, в которых метрика не удовлетворяет условиям (1.117), однако вычисления становятся более громоздкими.
Переход от комплекса Ландау—Лифшица к тензорной характеристике гравитационного излучения в результате усреднения на длине волны будет рассмотрен в § 4.3. Однако сначала рассмотрим линеаризованное приближение ОТО, описывающее гравитационные волны, распространяющиеся в плоском фоновом пространстве-времени.
49 Глава 2
ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ И СЛАБЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Во всех физических явлениях на Земле и в ее непосредственной окрестности поле тяготения согласно условию (1.6І) можно считать слабым. Что касается гравитационных волн (а далее мы будем преимущественно рассматривать именно волны), то даже излученные при нестационарных процессах, в которых участвовало сильное гравитационное поле (например, при столкновении черных дыр), волны после прихода в солнечную систему будут иметь столь малую амплитуду, что их поведение с большой точностью можно описывать в рамках так называемой линеаризованной теории гравитации. О слабых гравитационных полях мы кратко говорили в гл. 1, когда искали ньютоновский предел закона тяготения. В этой главе мы рассмотрим линеаризованную теорию тяготения систематически, обращая основное внимание на свойства гравитационного излучения.
