Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
(-g) (2G^V + 16яО = Aftv*, (1.112)
где так называемый суперпотенциал Zi^ удовлетворяет условиям
= _ = (J J 13)
(Первое условие вместе с (1.112) дает тождественное выполнение (1.111), второе обеспечивает симметрию ^v.) Суперпотенциал не должен содержать производные метрики выше первого порядка. Это легко устроить, если предположить, что суперпотенциал представляет собой дивергенцию некоторой величины, зависящей только от метрики, т. е.
Hllvx = H^yi. (1.114)
Можно показать, что требования симметрии суперпотенциала однозначно определяют вид с точностью до постоянного множителя. Запишем это выражение без доказательства:
= g) (1.115)
Выражения (1.114) и (1.115) определяют суперпотенциал, а из (1.112) и выражения для G^v (см. (1.39), (1.41) и (1.43)) после громоздких вычислений можно получить комплекс энергии-импульса гравитационного поля. Его удобно записать с помощью величины g^v =Y—Sttv (тензорная плотность):
16я (- g) Г = І.Ж-І.Т + \ g^ga,gT
- ++ «v6i.A?+ + 4 - (1-116)
О
В [1] приведено выражение ^v через и ГIx. Величина, заданная выражением (1.116), называется комплексом энергии-импульса Ландау—Лифшица.
Перечислим свойства этого комплекса: 1) в сумме с тензором энергии-импульса материи он удовлетворяет дифференциальному закону сохранения (1.110); 2) он симметричен; 3) он содержит первые производные метрического тензора в квадрате и не содержит производных более высоких порядков. Из последнего свойства вытекает, что ^v не является тензором. Свяжем с данным событием ЛИСО, тогда первые производные g^f исчезнут и №
38 обратится в ноль. Если бы /^v был тензором, тогда во всех системах координат было бы справедливо ^v=O. Поскольку выбором системы координат ^v можно обратить р ноль, интерпретация ^00 как плотности энергии гравитационного поля, по аналогии с T00 как плотности энергии материи, нуждается в дополнительном разъяснении. В ОТО следует принять, что энергия гравитационного поля не может быть локализована. Интуитивно этот факт выглядит естественно, если учесть, что энергия тесно связана с работой, а работа — с силой. Но «сила тяготения» в отличие, например, от электромагнитных сил не имеет абсолютного физического смысла, всегда можно перейти к «падающему лифту» (ЛИСО), в котором локально коэффициенты аффинной связности, которые можно интерпретировать как силы тяготения, исчезнут. Неоднородность гравитационного поля (тензор кривизны) невозможно устранить преобразованием координат, но ее измерение возможно только в нелокальных экспериментах, например, через отклонение геодезических. Кроме тяготения никакое другое известное взаимодействие таким свойством не обладает. (Несколько отличное рассуждение, свидетельствующее о невозможности локализации гравитационной энергии приведено Мёллером в [6].)
Хотя комплекс энергии-импульса не является тензором, он преобразуется как тензор при линейных ортогональных преобразованиях, имеющих структуру, сходную со структурой преобразования Лоренца. При преобразовании X11 = A!}xv+bll1 где постоянные av подчиняются условиям apAl1Y]JAV = т]ра, легко видеть, что действительно t ^v = ApAg^pa. Это свойство имеет лишь формальный смысл в тех областях пространства-времени, в которых кривизна настолько велика, что пространство-время существенно отличается от плоского; однако вдали от пространственно ограниченных систем материи пространство-время будет асимптотически переходить в пространство-время Минковского СТО, и здесь указанное преобразование будет иметь физический смысл преобразования Лоренца, связывающего между собой асимптотически лоренцовы системы координат. Они являются физически привилегированными в том смысле, что имеют прямой метрический характер — определяют расстояния в пространстве и во времени между событиями.
Покажем теперь каким образом можно дать формулировку интегральных законов сохранения в ОТО.
Рассмотрим асимптотически плоское пространство-время, соответствующее некоторой изолированной системе масс. С помощью вполне строгих рассуждений показывается (см. [16]; статьи Шоке, Йорка и Брила, Янга в сборнике [8]), что можно дать следующее (интуитивно наглядное) определение асимптотической плоскостности в пространственной бесконечности: существует система координат хм- такая, что Xi^ (—оо, +оо) и при г> >г0 (где г2=(х')2+(х2)2+(хг)2у а г0— некоторая константа) и
39 конечном значении метрика стремится к метрике плоского пространства-времени T^v следующим темпом:
^v = %v+0(l/r), ^v,a~0(l/r2). (1.117)
Координаты, в которых сформулированное условие выполняется, назовем асимптотически лоренцевыми координатами (АЛК). За исключением конца данного параграфа, мы будем пользоваться именно АЛК.
Проинтегрируем дифференциальный закон сохранения (1.110) по четырехмерной области Q, ограниченной двумя бесконечными пространственными гиперповерхностями Ei и S2, соединенными на бесконечности (г-*-оо) временной «цилиндрической» гиперповерхностью Г. Пользуясь теоремой Гаусса (для области Q) и асимптотикой (1.117), несложно найти, что интеграл по гиперповерхности Г исчезает, а сохраняются величины
