Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
где мы использовали тот факт, что якобиан в степени w до первого порядка по є есть \dxjdx\w=l + Отсюда уже ясно, как выглядит производная Ли произвольной тензорной плотности, Из определения производной Ли следует, что дифференцирование Ли создает из тензоров тензоры сходного типа. Наиболее наглядно это можно проследить в случае, когда в пространстве задана аффинная связность и возможно ковариантное дифференцирование. Например, производную Ли контравариантного вектора (1.80) можно переписать в том же виде, заменяя обычное дифференцирование ковариантным:
XA11 = JFv Iv-^v (1.84)
і
Аналогично (1.82) можно привести к виду
Ц ^iLiv — ^Vv;p|P + + ^|LiP?Pv . (1.85)
28 Несложно убедиться, что в выражении для производной Як произвольного тензора (либо тензорной плотности) частные производные можно заменить ковариантными, что демонстрирует тензорный характер производной Ли.
Как мы уже видели, для введения производной Ли нет необходимости задавать метрику. Если метрический тензор задан (как это имеет место в ОТО), то его производная Ли не отличается от производной Ли обычного (ковариантного) тензора второго ранга (1.82) либо может быть записана с помощью ковариантных производных (1.85). Поскольку и gpv?p;?= (gpv?p) * =
можно писать
JjJfflW = Swv+ 6*1*. (1.86)
Обратимся теперь к рис. 1.3. На нем бесконечно малое отображение ^ переводило пару точек PQ в пару PQ, или вектор dx» в вектор dxС помощью метрики можно определять расстояния между точками и длины векторов. Спрашивается: в каком случае ds2\PQ (x)dx»dxv будет равно ds2^ = g^(x) dx11 dxv,
т. е. в каком случае отображение, генерированное Q11 будет изометрическим?
Используя (1.79) (см. также рис. 1.3), условие изометрии можно записать в виде
^v (X) dx4x* = g»v (X) [dx11 + ейdxP] [dxV + Elldx0] =
= [^v (X) + Egllv^x] [dx4xv + 8 (EodJfdxa + l%dxvdxp)] =
= gw (X) dx4x> + 8 [ga^xlx + 2gavgy dxadx
Так как члены ~є должны исчезать при произвольном dxa, должен обращаться в нуль член внутри квадратной скобки, симметричный по а и ?. Сравнивая с (1.82), видим, что это означает
Xgllv = 0. (1.87)
К такому же результату можно прийти еще быстрее, если учесть, 4TO_ds2 — скаляр, так что после переноса Ли из P в P имеем ds2\pQ =ds2\pQ и условие ds2 |pq = ds2 |pq принимает вид gllv(x)=gllv (х), т. е. поле удовлетворяет соотношению (1.87).
Таким образом, чтобы в пространстве-времени (в многообразии) существовали какие-либо изометрические отображения, должно существовать векторное поле, являющееся решением уравнения (см. (1.86))
&r.v+Sv;n=0. (1.88)
Вектор, удовлетворяющий этому так называемому уравнению Киллинга, называется вектором Киллинга. При переносе вдоль кривых конгруэнции, к которым касательно векторное поле Кил-
29 линга, сохраняются расстояния между точками. Очевидно, что существование вектора Киллинга означает существование внутренней симметрии пространства. Если существует несколько линейно независимых векторов Киллинга, то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами тоже есть вектор Киллинга.
Как известно, каждой симметрии в пространстве-времени соответствует закон сохранения (теорема Нетер). Рассмотрим для простоты частицы с постоянной массой покоя \i и импульсом р движущиеся по геодезическим, так что можно записать (см. (1.49)):
-??- = pW = ^UWv = 0. (1.89)
dx
Пусть существует вектор Киллинга удовлетворяющий (1.88). Тогда скалярная величина
PiD = PtlIfl = PX (1.90)
сохраняется вдоль геодезической вследствие (1.89) и (1.88):
dptoldx = D (p%)/dx = P11IilivUv = |iIWgwv = - vUWlw = 0.
Предположим, что вектор ^ временноподобен. Тогда величину Pd) можно интерпретировать как сохраняющуюся энергию частицы (в асимптотически плоском пространстве-времени; например, в геометрии Шварцшильда это «энергия, измеренная наблюдателем в бесконечности»). Всегда существует система координат, где кривые, к которым ^ касательны, будут координатными линиями, вдоль которых изменяется только временная координата X0 = = t. Координату t легко выбрать так, чтобы в этой новой системе координат вектор Киллинга был бы ^=(1^ О, 0, 0), уравнение Киллинга (1.88) (см. также (1.82) при TViV=gViV) приняло бы вид ^v i=O, что соответствует нашему понятию стационарности. Из утверждения «существует времениподобный вектор Киллинга» тогда следует «существование такой системы координат, в которой метрический тензор не зависит от времени». Очевидным преимуществом первого утверждения является то, что в нем не упоминается определенная система координат.
Если ^ не является векторным полем Киллинга, часто выгодно «подогнать» систему координат так, чтобы ^ имел все нулевые компоненты, кроме одной, скажем I1 = I, соответствующей X1=X. Из выражения для производной Ли геометрического объекта Ф по полю ^ (и из примеров производной Ли, приведенных выше) получим, что в этой специальной системе координат производная Ли переходит в частную производную по х: «і?Ф = Ф,лг.
I
В заключение приведем без доказательств три примера вектора Киллинга в трех различных пространствах. Заметим только, что при отыскании этих векторов необходимо исходить из решения уравнения Киллинга (1.88).
