Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бичак И. -> "Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения" -> 6

Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.

Бичак И., Руденко В.Н. Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения — МГУ, 1987. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnievolnivotoobnarujenie1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 110 >> Следующая


15 где

^vxX = TvxtJt TvxtX+ ГаХГгх Wvyi (1.34)

тензор кривизны Римана. Аналогично найдем, что для контрава-риантных компонент вектора и для тензора второго ранга имеют место соотношения

V^X-VSUK=-VXxx, (1.35)

7\х;Х; ці—T ix; p.; X = ^ш^хХд + T0xRail. (1.36)

Непосредственно из определения (1.34) следуют свойства симметрии тензора Римана

-^vxX — — ^?vXx> ^fivxX3cyki ~ (1.37) а также тождества Бианки

^vWicykl = O, (1.38>

которые проще всего доказываются в ЛИСО, где Г?х = 0 (хотя

г%,* ф 0).

Благодаря своему тензорному характеру все вышеприведенные выражения должны быть справедливы в произвольной системе координат. Соотношения (1.34) — (1.38) справедливы также для теорий, в которых метрика и аффинная связность независимы, например, метрика вообще может быть не задана.

Поскольку в ОТО метрика имеется, можно спустить первый индекс тензора Римана вниз и прямым вычислением убедиться, что

Rixlix (g\|ntxX + ?хХ,1Ц.—?іХ,х|и ёх|ы,їх) + gfpа (Гф.Гхх— Г[хГХМ().

(1.39)

При этом имеют место следующие соотношения симметрии:

R ІхЯц =-RyahViy R IxbVL = RbVLix. ( 1.40)

Из тензора Римана можно сконструировать следующие величины:

симметричный тензор Риччи

R^=R W=^x, (141)

скаляр Риччи (скалярная кривизна)

R=R1^ (1.42)

и тензор Эйнштейна

GllV=RliV—l/2g^R- (1.43)

16 Полезно также выписать тензор, двукратно дуальный по отношению к тензору Римана:

G^^Ue^R^e^ (1.44)

с помощью которого можно тождества Бианки (1.38) переписать в виде

GiKX14;,= 0. (1.45)

Можно показать, что тензор Эйнштейна сконструирован из двукратно дуального тензора так же, как тензор Риччи сконструирован из тензора Римана Giiv=G1lllv; отсюда несложно убедиться, что из тождества Бианки в виде (1.45) следует в дальнейшем важное для нас соотношение

GtiV = 0. (1.46)

Наконец, введем конформный тензор Вейля

<Vх = Rя, і "-26^ R^ + Vso[x<1 бц]х]Я, (1.47)

где квадратные скобки в индексе означают антисимметризацию по соответствующим индексам (с умножением на коэффициент 1/2).

С алгебраической точки зрения значение тензора Вейля состоит в том, что он, имея точно те же свойства симметрии, что и тензор Римана, является помимо того еще и бесследовым, т. е. свертка тензора по любым двум индексам (его шпур, или след) равна нулю. (Можно показать, что в произвольном пространстве-времени тензор Римана имеет 20 независимых компонент, тензор Вейля — 10.) Конформный тензор Вейля играет важную роль, например, при классификации различных гравитационных полей, особенно полей излучения (см. гл. 3). Термин «конформный» означает здесь, что два римановых пространства (т. е. два многообразия, имеющие метрики и соответствующие им аффинные связности), интервалы которых отличаются конформным множителем ?2(х), т. е.

ds2 = Q2 (Xii) ds2 (1.48)

(так что все длины, независимо от направления, умножаются на коэффициент, зависящий только от координат точки, и световые конусы (ds2 = 0) сохраняют свою структуру), имеют один и тот же тензор Вейля, хотя их тензоры Римана различаются.

Геометрический смысл тензора Римана состоит главным образом в том, что он характеризует кривизну: пространство-время является плоским тогда и только тогда, когда тензор Римана повсюду равен нулю. Плоское пространство-время определяется как такое, в котором можно ввести глобальную лоренцеву систему координат, так что метрика его повсюду будет иметь вид СТО.

17 Одно из доказательств этого утверждения тривиально (при g\iv = Tbv имеем Tvp = O, и тогда 0), другие доказательства

немного сложнее (см., напр., [3]).

Важная роль тензора Римана очевидна также из следующего утверждения: каждый тензор, который сконструирован из метрического тензора, его первых и вторых производных, можно выразить с помощью тензора Римана и метрического тензора. (Часто при этом утверждении ограничиваются только линейной зависимостью от вторых производных метрического тензора; однако такое ограничение излишне.)

Изложив кратко основы римановой геометрии, вернемся к физическому смыслу ОТО.

Исходя из принципа общей ковариантности и используя формализм ковариантного дифференцирования, можно сформулировать законы физики в произвольном гравитационном поле. (Здесь имеем в виду законы, которые описываются дифференциальными уравнениями для тензорных полей; однако введение спи-норных полей также не вызывает затруднений.) Зная вид физического закона в СТО, найдем изменение величин, связанных с этим законом, при преобразовании координат (например, потребуем, чтобы тензор электромагнитного поля Z7ctp оставался тензором при произвольном преобразовании координат); затем заменим метрику Минковского t]hv произвольной метрикой, а частные производные — ковариантными производными. Полученные уравнения будут иметь тот же самый вид во всех системах координат, и согласно принципу общей ковариантности они в этом же виде будут справедливы в любом гравитационном поле.

Однако переход от формулировки законов физики в СТО к формулировке их в ОТО не всегда бывает прост и однозначен. В уравнения, полученные описанным способом, в принципе можно добавлять члены, содержащие тензор Римана и другие тензоры, сконструированные из него (сверткой, ковариантным дифференцированием и т. п.). Однако члены, зависящие от кривизны пространства-времени, в уравнения добавлять не следует — в соответствии с так называемым принципом минимальной связи, которым требует только замены частного дифференцирования ковариантным и метрики Минковского — метрикой ОТО. Вообще говоря, принцип общей ковариантности и принцип эквивалентности являются лишь эвристическими руководящими принципами при формулировке законов, которые всегда должны быть сопоставлены с экспериментом (подробнее см., напр., [3]).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed