Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
24 выражение Tfj ——— =TfjtiV = O для любых U. Отсюда получа-ds ds
ем T1Ij=O (снова только в Xi = O при произвольном т), или gij,k = 0, goi,j = —goj,i. Поскольку goi,} антисимметрично по /, оно имеет только три независимые компоненты, которым можно сопоставить 3-вектор, так что goij=—EijkMk1 где гци — обычный (евклидов) трехмерный символ Леви-Чивиты. Пространственные компоненты 4-ускорения наблюдателя в используемых координатах таковы: Ui = UlvJJxi=—Tqo=--J~S0oi» что позволяет нам
выразить производные goo с помощью ускорения. Тогда в наиболее естественных для наблюдателя координатах, связанных с ним„ получим метрику в окрестности его мировой линии в простом виде
ds2 = — (1 + 2щх1) (dx°) 2—2гцкх^ЫхЧх1 +
(1.72)
+ SijdxiCixi + 0(1^12) dxi dx*. Компоненты аффинной связности (неисчезающие) таковы:
T100 = CLi9 T0oi=Ui9 Tioj=-Ejjk^K (1.73)
Представим себе, что мимо нашего наблюдателя в определенный момент проходит свободно падающая частица, т. е. частица, уравнение движения которой является уравнением геодезической с собственным временем частицы в качестве параметра, обозначенного X. Если переписать уравнение геодезической в системе координат с метрикой (1.72) и с аффинной связностью (1.73), то, исходя из временной части уравнения геодезической (1.3), найдем связь между X=X0 и X7 d2x°/dX2+2aiX (dx°/dX) (dxi/dl)=0. Пространственная часть уравнения геодезической после использования этих соотношений примет вид весьма наглядный:
г=—а—2(o X г+2 (air) г, (1.74)
где точка означает производную по собственному времени наблюдателя; а= (а1) — пространственные составляющие ускорения наблюдателя; г= (Xі) — координаты изучаемой свободно падающей частицы. Первый член в (1.74) обусловлен ускорением наблюдателя, второй — ускорение Кориолиса, третий — релятивистская поправка на скорость наблюдателя (в обычных единицах он пропорционален 1/с2). Наблюдатель также может находиться в свободном падении, но ускорение частицы относительно него не обязано быть нулевым. Действительно, оси системы координат наблюдателя при падении могут вращаться, так что в этой системе координат у свободно падающей частицы появится ускорение Кориолиса. Только если со = 0, т. е. (см. (1.73)) если Го/ = О, ускорения Кориолиса не возникает. Это имеет место тогда, когда тройка векторов испытывает перенос Ферми — Уолкера. Пе-
24 ренос Ферми — Уолкера вектора W1 вдоль временноподобной кривой Xli (т) с 4-скоростью Ull = dxil[d% определяется уравнением
Легко видеть, что требование переноса Ферми — Уолкера (1.75) для векторов базиса в самом деле эквивалентно условию Г{0 = 0, т. е. (о = 0. Тот факт, что временной вектор тетрады S^=U*1 в любом случае испытывает перенос Ферми — Уолкера, следует непосредственно из (1.75), если вспомнить, что 4-скорость нормирована на минус единицу и всегда перпендикулярна 4-ускорению.
Новая система координат, в которой метрика имеет вид
(1.72) и ненулевые компоненты аффинной связности — вид
(1.73), называется локальной системой отсчета (ЛСО) ускоренно движущегося наблюдателя; его мировая линия — это эволюция начала координат этой системы. Метрика (1.72) справедлива в окрестности начала координат с точностью до членов, линейных по Xі; в квадратичных членах появились бы компоненты тензора Римана. Если ЛСО не вращается и наблюдатель свободно падает, то из (1.73) следует, что все компоненты аффинной связности вдоль его мировой линии обращаются в нуль и, значит, обращаются в нуль и все первые произвольные метрики. Таким образом, JICO является локально инерциальной системой отсчета, но в отличие от предшествующих локальных систем, которые вводились ранее всегда вокруг одной определенной мировой точки (события), здесь речь идет о ЛИСО вдоль всей геодезической.
Понятие производной Ли играет большую роль не только в ОТО и дифференциальной геометрии, но и в теории систем уравнений в частных производных, а также в гамильтоновой механике. Наша цель — определить это понятие достаточно наглядно.
Формализм производной Ли позволяет — вне зависимости от координат — сравнивать тензоры одного типа (и геометрические объекты более общего характера) в различных областях пространства-времени без задания аффинной связи и метрики. Необходимо только, чтобы между этими областями было определенное соответствие. Предположим, что речь идет о гладком отображении (диффеоморфизме) f области D на область D (рис. 1.2). Соседние точки P9 Q переходят в точки F9 Q9 вектор сдвига (бесконечно малый) PQ — в PQ.
Перенос Ли определим, сказав, что вектор PQ испытывает перенос Ли к вектору FQ. Однако в точке P мог первоначально существовать также вектор PS. Предположим, например, что в некоторой большой области пространства-времени, содержащей D и D9 было задано векторное поле, в точке P это вектор PQf в
(1.75)
§ 1.3. производная ли и векторы киллинга
25 точке P — вектор PS. Приращение Ли между векторами PS и PQ — это просто разность этих векторов (вычисленная в точке Р). Производную JIu определим как предел отношения приращения Ли и бесконечно малого параметра, характеризующего отображение f.
