Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
|ф|<1. (1.61)
В ньютоновской теории тяготения пробная частица движется согласно уравнению
= (1.62)
dt2 дх1 v '
В ОТО в это уравнение должно перейти уравнение геодезической (1.3) в пределе слабых полей и малых скоростей, т. е. когда выполнены (1.59), (1.60). Сравнение обоих уравнений показывает, что уравнение геодезической сводится к (1.62), если
Ti00 = —Lh00fi = Oti. (1.63)
Тогда при условии Ф = O=Hvlv при г-*~оо имеем
goo =— (1 + 2Ф). (1.64)
Это есть основное соотношение соответствия между ньютоновской теорией тяготения и ОТО при действии данного гравитационного поля на пробные частицы. Из (1.63) и определения тензора Римана (1.34), пренебрегая квадратичными членами и производными по времени по сравнению с пространственными производными, получим
Из выражений (1.63) — (1.65) видно, что метрической тензор играет роль потенциала, аффинная связность — напряженности, а тензор Римана — градиента напряженности, или так называемых приливных сил поля тяготения в ньютоновской теории. Такая интерпретация интуитивно ясна: переходом к ЛИСО можно в каждой конкретной мировой точке аннулировать гравитационную силу (напряженность), т. е. достичь в ОТО того, чтобы все компоненты аффинной связности исчезли, однако переход к ЛИСО не способен устранить приливные силы, т. е. неоднород-
21 ность гравитационного поля (например, в лифте, падающем в центральном поле Земли, свободные частицы, равноудаленные от центра Земли, будут взаимно сближаться вследствие неоднородности центрального потенциала тяготения). На геометрическом языке ОТО это означает, что переходом к ЛИСО нельзя свести к нулю кривизну пространства-времени, т. е. компоненты тензора Римана.
Из выражения (1.65) и уравнения Пуассона (1.57) для ньютоновского потенциала тяготения получаем
Roo = RiOiO = Аф = 4лр. (1.66)
С другой стороны, из (1.58) и определения тензора Эйнштейна (1.43) получим основное уравнение гравитационного поля:
Rv-l^R=KTliv. (1.67)
После свертки ПО и V и вычисления R (см. (1.42)) с помощью T=T» это уравнение можно переписать в виде
R^ = K(Tll-lI2Tgliv). (1.68>
Предположим, что источником гравитационного поля является приближенно ньютоновская жидкость, удовлетворяющая условиям медленности движения (1.59) и р/р<С1, тогда получим T?i/T00^l9 Г0/< 1. Уравнение (1.68) для jx=v=0 в рассматриваем
мом приближении может быть записано в виде #0о х +
откуда сравнением с (1.66) найдем
постоянный коэффициент пропорциональности к в геометризованных единицах: к = 8я. В обычных единицах имеем
х = 8 JiG/с* (1.69)
и основное уравнение тяготения принимает вид
^v--f SVv/? = i^riiv. (1.70)
Это и есть эйнштейновский закон тяготения.
§ 1.2. ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ПЕРЕНОС ФЕРМИ - УОЛКЕРА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Понятие локальной системы отсчета (ЛСО), которая связана в общем случае с ускоренной частицей в гравитационном поле* чрезвычайно важно при решении многих проблем ОТО, в частности при изучении взаимодействия гравитационных волн с частицами.
Рассмотрим произвольно движущегося наблюдателя, мировая линия которого в некоторой системе координат задается функ-
22 циями т), где т — собственное время наблюдателя. Пусть наблюдатель снабжен ортонормированной тройкой (пространственных) векторов е$)> i=l, 2, 3 (например, «ребра» лаборатории на Земле или на ракете), которые он использует для создания новой системы координат в своей близкой окрестности. В этой новой системе координат, для которой оставим стандартные обозначения {Xі4}, началом координат будет его мировая линия, т. е. она будет задаваться условием хг = 0; в качестве времени наблюдатель будет использовать свое собственное время, х° = т. Это соответствует использованию в качестве «нулевого» вектора базиса (тетрады) 4-скорости наблюдателя, которая в системе {Xм} имеет компоненты ^) = (/^ = (1, 0, 0, 0). Поскольку в таким образом сконструированной системе координат компоненты ^) = 6^ и тетрада является ортонормированной, то вдоль мировой линии наблюдателя (х' = 0, т любое) в данной системе координат должно иметь место gnv = Tbv, gliv, о = 0, так что в непосредственной окрестности мировой линии метрика имеет вид (используем разложение в ряд Тейлора)
ds2 = ї)^dx^dx"+gpv, ^dx^dx*.
(1.71)
X0=X
По направлениям трех пространственных векторов е$) через точку наблюдателя проходят три пространственные геодезические линии (рис. 1.1), которые можно параметризовать собственной длиной (дугой) S. Эти собственные длины выберем непосредственно в качестве пространственных координат, измеряемых вдоль соответствующих координатных линий (трех геодезических). Для произвольной, но близкой точки Р, которая лежит на гиперповерхности X0==T-const, из начала координат тянутся пространственные геодезические, и необходимо, чтобы координаты точки были бы = IixSf где P — единичный вектор из начала координат в
Рис. 1.1. Базис и локальная система отсчета произвольно движущегося наблюдателя
направлении геодезической, а 5 — длина дуги вдоль этой геодезической от начала координат к точке Р. Отсюда следует ^d2XiiIds2 = O и уравнением пространственных геодезических будет
