Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Если частица имеет нулевую массу покоя (фотон или нейтрино), то в ЛИСО вместо (1.1) имеет место
_?UL=0) о=*, «L «U-,
du2 dv du
где V — так называемый аффинный параметр (например, v = g°), который может быть однозначно определен с точностью до линейного преобразования. Тогда из принципа эквивалентности в произвольной системе координат получим уравнение нулевой (свето-подобной) геодезической
d2xa , -pa dx$ dxy л л „ dxa dx$ ¦1 ?v—--~ = > u = ?a?-
du2 du du du du
Аналогичный вид имеет уравнение пространственноподобной геодезической, только вместо V в него входит длина дуги 5 и касательный вектор удовлетворяет выражению
dxa dx$ t
ga^—T- = 1-
ds ds
Из принципа эквивалентности и из (1.9) можно легко получить выражение для гравитационного красного смещения. Рассмотрим два одинаковых атома, излучающих в разных точках 1 и 2 в стационарном гравитационном поле, т. е. в точках с фиксированными пространственными координатами Xі, Xі (/ = J, 2, 3);
(1) (2)
Юпри этом gVv не зависит от х° (предположение о стационарности можно сформулировать вне зависимости от координат с помощью вектора Киллинга, см. § 1.3). Пусть в ЛИСО, которая в определенный момент покоится в точке 1, частота излучения атома равна Vo- В ЛИСО, покоящейся в точке 2, частота излучения, пришедшего от атома в точке 1, будет отлична от vo; она дается выражением
v/v0 = [g00(x)/g00(x)]l/\ (1.10)
(1) (2)
которое и описывает «гравитационное красное смещение».
Из принципа эквивалентности можно было бы вывести выражения для ряда других физических законов в гравитационном поле, однако практически проще исходить из принципа общей ковариантности. Его формулировки, отличающиеся разнообразием, не всегда бывают ясными и однозначными. Поскольку нашей задачей не является рассмотрение основ ОТО, ограничимся простой краткой формулировкой (подробное изложение см., напр., в [3, 5, 6]): физический закон является справедливым (истинным) в произвольном гравитационном поле, если он описывается уравнениями, обладающими свойством общей ковариантности, т. е. сохраняющими свой вид при произвольных преобразованиях координат Xii-^Xftx=Ifix(Xv). Предполагается также, что этот закон действует и в отсутствие гравитации, т. е. в СТО.
Рассмотрим кратко все основные соотношения тензорного анализа в произвольном пространстве-времени, в котором события описываются четырьмя координатами х» (вообще говоря, одной системы координат для покрытия всего пространственно-временного многообразия может не хватить, но каждое многообразие можно описать системой координатных карт; см., в частности,. § 3.2). Предположим, что преобразованию координат Xftx = xf[X(xv) соответствует обратное преобразование x? = x*(xfv), так что
дх* dxv sii_ дх? dxv n m
dxv дх'е ~~ P dxv dx** ' { ' '
Тогда скалярная величина преобразуется согласно выражению Ф' (x/tx) = Ф (*v), контравариантный вектор (например, дифференциал dxf*) — согласно выражению Afa(Xf) = (dxfa/d^) A^ (х)9 ко-вариантный вектор (например, градиент скаляра дФ/дха) — согласно выражению Bfa(Xf) = (дх^/дх/а)В^(х); вообще тензор с индексами обоих типов — согласно выражению
nr\'JLXV... дх9 дх6 дх* dxv тра... (л 10Ч
Гар- ---1*-*?-7*"- - (1Л2>
Например, ковариантные компоненты метрического тензора преобразуются по формуле
дх» дха „ ., 1QV
gpo, (1.13)
5aP дх'а дх'Р
Uтак что квадрат интервала
ds2 = gafldxadx^ (1 14)
между двумя произвольными близкими событиями инвариантен по отношению к общему преобразованию координат. Инвариантом является также скалярное произведение двух любых векторов:
Рассмотрим теперь так называемые тензорные плотности. Если в правой части (1.13) поместить gpa между частными производными, то тогда ее можно рассматривать как произведение трех матриц, так что имеет место соотношение
g* = A2g = A~2g, g=det (g«t), (1.15)
где A = det(dx/p/dxa) и A = det(dxp/dx/a) — якобианы прямого и обратного преобразований; из (1.11) следует A-A=I. Если компоненты некоторой величины преобразуются по закону
(...«в
где W — целое число, то называется тензорной плотностью веса w. Из (1.15) следует, что g — скалярная плотность веса 2, а (—ё)1/2 — скалярная плотность веса 1. Тензорную плотность веса 1 (часто ее называют просто тензорной плотностью) получим умножением тензора на фактор (—g)l/2> например: ^ a?'." = = (—&)1/2 ^a?'.;;. Умножением тензора на фактор (—g)w/2 можно получить тензорную плотность веса w. Наоборот, делением на этот фактор можно из тензорной плотности получить тензор.
Примером тензорной плотности является перестановочный символ Леви-Чивиты варто, определенный во всех системах координат следующим образом: єаРтб= + 1, если (сфуб) является четной перестановкой набора (0123); єарТб =— 1, если нечетной; и єаРтб = 0, если какие-либо два индекса одинаковы. еарТб преобразуется по закону
, _ 1 дхх дх% дх* dxv
8сфї6-А дх>а дх>$ дх'у дх-6 e^
отсюда следует є'оігз = A-1A= 1, а остальные компоненты задаются
антисимметричностью є'артб. С точностью до знака А величина 8a?T6 является тензорной плотностью веса —1. Чтобы получить из нее тензор, поделим согласно изложенному выше e<zpT6 на (—g) ~1/2, т. е. введем