Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Будем предполагать, что функции vk(x, у), k = 1,2,..., интегрируемы с квадратом в области G. Линейно независимая система (31) называется ортогональной, если
$ М*. y)vm(x, y)dxdy = 0, кфт. (32)
в
Ортогональная система (31) называется нормированной или ортонормированной, если N (у*) = 1, k=\, 2, ...
Очевидно, что в случае надобности ортогональную систему (31) всегда можно сделать ортонормированной делением каждого ее члена vk (х, у) на число N (vk).
Пусть ф(х, ^ — произвольная, заданная в области G действительная интегрируемая вместе с квадратом функция, а система (31) ортонормирована. Числа
а* = $ф(х, у) vk(x, у) dx dy, k=\, 2, ..., (33)
а
называются коэффициентами Фурье функции ф (х, у) относительно ортонормированной системы (31).
П
Выражение вида ^ У)> гДе а* — действительные
*=i
постоянные, называется линейным агрегатом.
Число
м=$ (ф - 2 “л0*)dx dy (34)
в\ *=i /
носит название средней квадратичной ошибки.
Так как из (34) в силу (32) и (33) имеем
M = N2(ф)+ 2 (а* — а*)2 — 2 als?О,
* = 1 А=1
то средняя квадратичная ошибка (34) при фиксированном п будет минимальной, если ak = ak, k=\, ..., п.
226
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Когда линейный агрегат имеет вид 23 аь°ь (*> У). из неравенства
\(ф- 23 dxdys*О
о\ *-1 /
заключаем, что
Sfl|<iV»(9) (35)
*=1
для любого п. Следовательно, ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции <р (я, у), еходится и
J] а| «? N2 (ф). (36)
Соотношение (36) называется неравенством Бесселя.
Ортонормированная система (31) называется полной в пространстве функций, которому принадлежат ф(дс, у) и vk(x, у), k=l, 2, ..., если
lim $(ф— 2 anVk) dxdy=*0
Я-«>й\ *-1 /
или, что то же самое,
23 = ЛГ* (ф). (37)
1
Выполнение условия полноты (37) вовсе не означает, что функцию ф(х, у) можно представить в виде суммы первого из рядов (28):
СО
Ф (х, У)= % akv„{x, у). (38)
Когда функция ф(дс, у) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, предвтавление (38) заведомо имеет место.
В случае непрерывности функций ф(х, у) и г|з (х, у) вместе с их производными до второго порядка ряд в правой части (27), коэффициенты а„ и Ьп которого определены по формулам (29), будет равномерно сходиться. Для
| 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
227
обеспечения возможности почленного дифференцирования этого ряда до второго порядка от функций <р (х, у) и ¦ф (х, у) дополнительно надо потребовать непрерывность их производных соответственно до четвертого и третьего порядка. В этих предположениях сумма и (х, у, t) ряда (27) будет регулярным решением уравнения (17).
Справедливость этого утверждения можно обнаружить применением теории интегральных уравнений Фредгольма, но на этом мы здесь останавливаться не будем.
4°. Случай круговой мембраны. Без ограничения общности мы можем предполагать, что круговая мембрана в положении равновесия занимает круг хг + у2 ^ 1.
Наряду с декартовыми ортогональными координатами х, у мы в этом пункте будем пользоваться и полярными координатами г, 6, определенными из равенств x = rcos О, y=r sin О.
Так как при переходе от декартовых ортогональных координат к полярным координатам оператор Лапласа преобразуется по формуле
А___ . д1 <?!¦ ± 1
Л — дх* "Г dtf “ дг* + г дг + г3 д№ ’
то уравнение \2\) в полярных координатах запишется в виде
d*v . 1 dv . 1 д*0 , . п , , -оПЧ
Для того чтобы функция v (г, Ь) вида
v{r, 0) = tf(r)0(0) (40)
была решением уравнения (39), функции R (г) и 6 (О) должны удовлетворять соответственно уравнениям
r*R" (г) + rR' (г) + 0*«г* - и) R (г) = 0, (41)
0"(О) + ш0(0) = О, (42)
где и — действительная постоянная,
const.
Из (40) следует, что для однозначности функции о (г, Ф) однозначной должна быть функция 0 (О), т. е. в (О) должна быть периодической функцией с периодом 2я. А это в свою
81
228
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
очередь означает, что в уравнении (42) постоянная и = п2, где п — произвольное целое число. В соответствии с этим общее решение уравнения (42) примет вид
0 (О) = a„ cos яд + P„ sin ид, (43)
где а„, р„ — произвольные действительные постоянные.
Если R(r) является регулярным при 0^г-<1 решением уравнения (41), непрерывным при Ocrcl и удовлетворяющим условию
Ж 1) = 0, (44)
то представленная формулой (40) функция v (г, О) будет решением задачи (21), (23) в рассматриваемом случае.
После замены переменных \м = р, R (г) = R ^j = J (р)
уравнение (41) принимает вид
^(p)+^'(p)4-(l-|)/(p) = 0 (45)
В дальнейшем будем считать, что целое число n^sO. Рассмотрим степенной ряд
СО
2 2а*А! (п + А)Г (46)
fe «=0
к
Так как (61)* = П/(* — / + 1) ^ № и, стало быть, при /=1
k>0
1 ^ I
2***1(я + А)1^А*’
ТО
ЧкГ------1---
У 2**кЦп + Ь)1=0-
Отсюда в силу формулы Коши —Адамара заключаем, что радиус сходимости степенного ряда (46) равен бесконечности, т. е. сумма ряда (46) является целой функцией переменного г.
На основании этого факта непосредственной проверкой убеждаемся в том, что целые функции 00
Jn (р) = 2 ( I)* 2n+i*k\ (я + ft)! ’ fl = 0, 1, (47)
| I. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
