Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
229
являются решениями уравнения (45), т. е. функции R(r) =
— Jn(\ir) являются решениями уравнения (41) при со = п*.
Определенные формулой (47) функции ,JK (р), п = = 0, 1, ..., называются функциями Бесселя, а уравнение (45), которому они удовлетворяют, — уравнением Бесселя.
Доказывается, что функции Бесселя с неотрицательными целочисленными индексами п имеют бесконечное (счетное) множество действительных нулей. Обзначим их через р„,т, т= 1, 2, ...
Собственные числа ца задачи (41), (44) следует определить из равенства
R (l) = Jn (ц) = 0, я = 0, 1, ...
Следовательно, собственными числами задачи (41), (44) являются квадраты нулей бесселевых функций, т. е.
Цт — Р *а,тФ 0.
В силу (40) и (43) соответствующие им собственные функции имеют вид
Vn.m(r, d) = /„(p„,mr)(a„cos/xd + p„sinnO). (48)
Подставляя выражение i>„,т(г, ®) из (48) в правую часть формулы (25), получаем решения
Un.m(X, У, 0 = Jn (Рп, тГ) (“л COS rtfl + Sin tlV) X
X (^л, т СО® Рл, “Ь ^л, т 81П Рл, /лО> <4Q\
п = 0, 1, ...; т= 1, 2, ..., ' '
уравнения (17), удовлетворяющие краевому условию (19), т. е. выражающие собственные колебания круговой мембраны, закрепленной по краям.
Набор решений (49) уравнения (17) позволяет по указанной в пункте 2° схеме построить решение задачи (17), (18), (19) в рассматриваемом случае.
Уравнение (21) называется еще метагармоническим, а его регулярные решения — метагармоническими функциями.
Подставляя в правую часть (40) решения Jn(vr) и cos яд, sinnft, ц* = Я,, я = 0, 1,уравнений (41) и (42), получаем метагармонические функции Jn (цг) cos пб, Jn (jir) sin пЬ, первая из которых обращается в нуль на
окружностях и на лучах п, а вто-
230
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
рая —на окружностях - и на лучах ft = nk/n, т =
= 1, 2, k = 0, 1, п— 1, носящих название узловых линий.
В то время как для уравнения Лапласа задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение, для мета-гармонического уравнения (21) аналогичное утверждение может не иметь места, Так, например, как уже было отмечено выше, однородная задача Дирихле (23) для уравнения (21) в круге г<С1 при Я, —рп,т имеет линейно независимые решения Jn (р„, mr) cos пЬ и /„ (р„, mr) sin лО, а неоднородная задача Дирихле, оказывается, не всегда имеет решения.
5°. Общие замечания относительно метода разделения переменных. Методом разделения переменных с успехом можно пользоваться при построении решений широкого класса дифференциальных уравнений с частными производными.
Пусть задано уравнение
1 |+с(*)ц-
i,i = 1 i-l
-«(Ода + Р(О^ + ?0)и. (5°)
Для того чтобы функция и (х, t) вида
и(х, Q —0(x)»(f) (61)
была решением уравнения (50), функции п(х) и w(t) должны удовлетворять соответственно уравнениям
Я П
2 ^(*)§|аг/+2в'(х>ё + 1С(х)+х'1о(х)"0 (52)
W-l i-l
а (0 да' (0 + Р (0 w (0 + [Y (f) + XI w (t) = 0, (53)
где Х = const.
Когда число пространственных переменных п— 1, т. е.
Д(*)?? + Я(*)| + С(*)и-
*=«(0^ + P(0^ + Y(0«, (54)
| 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
уравнение (52) для v (х) запишем в виде
А (х) Vя + В (х) v' + [С (х) + Я,] v = 0. (55)
Уравнения (53) и (55) оба являются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, решения которых нетрудно построить. Однако построение полного набора решений вида (51) уравнения (54) и доказательство возможности представления решения и(х, t) смешанной задачи (18), (19) для этого уравнения в виде суммы ряда по этим решениям в общем случае без привлечения спектральной теории линейных операторов становятся невозможными.
Исследование этой задачи сильно осложняется, когда в отдельных точках интервала изменения независимого переменного х (или t) функция А(х) (или функция a (t)) обращается в нуль. Именно такие случаи встречаются чаще всего в приложениях. При их исследовании становится необходимым вводить в рассмотрение так называемые специальные функции.
Когда А(х) = хъ, В (х) = х, С(х) = х*, % = — ц*, уравнение (55) представляет собой уже знакомое нам уравнение Бесселя
x2v” + xv' + (ха ~n2)v = 0.
Решения этого уравнения называются цилиндрическими или бесселевыми функциями. Бесселевы функции Jn{x) с неотрицательными целочисленными индексами п были введены в предыдущем пункте.
При А (х) = 1 — х2, В(х) = — х, С(х) = 0, Я,= ла из (55) получается уравнение Чебышева
(1 — ха) v" — xv' 4- и2v — 0.
Уравнению Чебышева удовлетворяют функции Чебышева
Тп (X) =‘[(*+1 УТ=*Г+(x-i VT^rl
«п (*) - g- К* ¦+1 VT^y -(x-t КГ^У], м = о, 1,
среди которых Тп (дс), очевидно, представляют собой полиномы.
232
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Уравнение Лагерра
xv" (1 — *)u'+ta> = 0
также является частным случаем уравнения (55).
6°. Шаровые и сферические функции. В силу формулы (26) введения однородные полиномы степени т\
«?(*. У, г)= 2 (—1)л(2^|дл(^т^х),
">0а (56)
а = 0, т, ' '
VI yin+\
“? + 3+1 (*• 2)= 2 (_1)" (2Й+Т
йЛ^° 1 (5?)
Р = 0....т — 1, v '
гдеЛ = ^ + ^, являются гармоническими функциями,
носящими название шаровых функций.
Формулы (56) и (57) дают все линейно независимые шаровые функции степени т. Их число равно 2т -f 1. Из формул (56) и (57) имеем, например, при т= 1:
