Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Применение преобразования Фурье при построении глобального решения задачи Коши для уравнения колебаний струны. Пусть требуется определить регулярное в полуплоскости />0 решение и (х, t) уравнения колебаний струны
Л. Л /1 луч
дх» ~ W 0 (Ш7>
по условиям
«(*, 0)-ф(х), 2^1 (108)
246
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где ф (лс) и if (х) — заданные достаточно гладкие функции.
Предположим, что функция и{х, t) и ее частные производные до второго порядка непрерывны и стремятся к нулю при х2 +/2оо, так что имеет смысл преобразование Фурье
ОО
о(*, = ? и(х, {]ег*^йх (109)
—ОО
и законны все нижеследующие операции:
00 со
75 | -----^ f «(». O^dz-
—00 —00
-----?0(t, ?), (110)
1 С д*и(г, 0 ixt d _ d'v (t, Q (lln
У2я J Л* ’
—CO
00
.0(0, ?)-t|= J «(*,0)e-**<te-—00
00
"тк S <112)
r4** dx =-
df (<, 9 1 = 1 f du(*<
& l<=0 y*2n J ЗГ
t=o
w
J 4>(*)H*dx-Y®, (113)
—CO
где Ф (I) и Y (I) — преобразования Фурье функций ф (х) и -ф (лс) соответственно.
Умножая обе части уравнения (107) на е~*х^ и интегрируя по х от —оо до оо, в силу (110), (111), (112) и
(113) получаем
o«(f, l) + l2v(t, Е)«0, (114)
о(0, *)~Ф(6), о,(0, E) = T(g). (115)
Общее решение о (t, ?) обыкновенного дифференциального уравнения (114) возьмем в виде
(П6)
i 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247
где сх и с2 — произвольные постоянные (относительно t), зависящие от параметра ?.
В силу (115) и (116) имеем
ci + с* =* Ф (?)» Ci — с, = ,
откуда находим, что
С|-^Ф(6)+^Т®, c=>(i)~^T(|).
Подставляя найденные значения сх и с2 в правую часть (116), получаем решение
V(t, 6)-{ф(6)(^ + Н*)+^Т(6)(«»-*-*0 (117)
уравнения (114), удовлетворяющее начальным условиям (115).
Пользуясь формулой обращения (89), в случае преобразования Фурье (109) получаем
ОО
и(х, 0 = 2Н J v(t. x)e?1x<h
—00
или, учитывая (117),
00
и(х, 0 = -^ f [е*^ + е*^]Ф(т)йх+
—ОО
00
¦ +?hiUei4x+‘)~ei4x~i)]*xp{x)dx- (118) —00
В силу формулы обращения (89) последние из. равенств
(112) и (113) принимают вид
00
Ф(?)=^= J Ф(т)е«Чт,
—00
00
246
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где ф (х) и if (х) — заданные достаточно гладкие функции.
Предположим, что функция и{х, t) и ее частные производные до второго порядка непрерывны и стремятся
к нулю при хг + оо, так что имеет смысл преобра-
зование Фурье
ОО
v(t, ?) = тт=!= J «(*. Qeri^dx (109)
—ОО
и законны все нижеследующие операции:
00 00
f ---^ J и(т, !)««*-
—00 —00
’---?0(t, 6), (110)
1 Г д*и(т, O ixid d*v (t, l)
УШ J dt* ^ ах Л* •
—СО
00
f(°, J «К*.0)г**&-
—00
00
"тЬ S ФМ8*4'-®®- (112)
dv(t, D I _ 1 С du (x, Q
л |t=o /гп J от
e-f^dx-
t—о
oo
“тЬ J (113)
—00
где Ф (?) и Y (?) — преобразования Фурье фуикций q> (х) 4 и -ф (дс) соответственно.
Умножая обе части уравнения (107) на е-**Ъ и интегрируя по х от — оо до оо, в силу (110), (111), (112) и
(113) получаем
М*. 6)+ 6*о (Л ?)-0, (114)
t>(0, ?) = Ф(?), и, (0, E) = T(g). (115)
Общее решение v(t, ?) обыкновенного дифференциального уравнения (114) возьмем в виде
+ (П6)
s 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247
где сх и сг — произвольные постоянные (относительно t), зависящие от параметра ?.
В силу (115) и (116) имеем
Cl + C* = Ф(?)> с1 —
откуда находим, что
с,= * фш-1^(|).
Подставляя найденные значения с, я с, в правую часть (116), получаем решение
ни ?)-^(бН^+^Ч-?(?)(«'*-Н*) (117)
уравнения (114), удовлетворяющее начальным условиям (115).
Пользуясь формулой обращения (89), в случае преобразования Фурье (109) получаем
ОО
и(х, 0 = 2S J vV> T)ertJfdr
—ОО
или, учитывая (117),
ОО
и (к, *)-^р= f Ф(т)<*т+
—ОО
00
I (118)
—00
В силу формулы обращения (89) последние из. равенств (112) и (113) принимают вид
00
ф®>“Йя I ф(т)
—00
«о
^)==рЬ f ^(т)^Л
250
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
и законны операции
1 Г ди_{х, (131)
Via J at dt v '
— ОО
F5 Г
°°-{¦*(#, I). (132)
Умножая уравнение (128) на и интегрируя
по д: от — оо до оо, в силу (127), (129), (130), (131) и (132) будем иметь
2+|»о = 0, (133)
"*(0. Б) = Ф®. (134)
Записывая уравнение (133) в виде
- = — V‘dt
V *
и интегрируя, сразу получаем его общее решение
v(t, |) = се-«\ (135)
где с — произвольная функция от ?.
Подставляя выражение (135) для v(t, ?) в (134), находим с = Ф(?). Следовательно, решением обыкновенного дифференциального уравнения (133), удовлетворяющим условию (134), является функция
v(t, ?)-Ф(?)е-«\
После того, как функция v(t, ?) найдена, формулу (129) можно записать в виде
00
ф(|)е-|чя_^ $ t)e-**dx. (136)
—00
Обращая (136) по формуле (89), будем иметь
СО
u{x' S фше~|ч+г|ж^ (137>
$ 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 251
Из таблиц интегральных преобразований находим, что при <>0 преобразованием Фурье функции er^t относительно переменного ? является функция
— ОО
Применяя формулы (122) и (125) для свертки /*<р, из (137) получаем
ОО
и{х' 0=тк §
— ОО
-v& I О*-573- I
— ОО —оо
что и требовалось доказать.
6°. Понятие 6-функции Дирака. В пункте 2° настоящего параграфа на функцию g(x) были наложены условия, гарантирующие существование преобразования Фурье (90).
