Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
В силу формул (106) и (107) главы II имеем
Г+(х)-Г(х) = о(х), (65)
ОО
F+(x) + r(x) = ^. — оо < * < оо. (66)
—ОО
На основании (64) и (66) заключаем, что F (г) должна быть решением краевой задачи
Г(х) + Г(х)=^.
В силу формулы (110) главы II решение этой задачи, обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид
р / \__j ф(г). Imz>0,
( — Ф (г), 1ш г < 0,
где
ф<г>------S [т=г- <68>
—оо
Поскольку в силу (67) и (68)
00
F+ (х) - Г (х) = Ф+ (х) + ф' (*) = _ I
—ОО
искомое решение v(x) уравнения (64) дается формулой (65), т. е.
00
»м-Ч <69>
—00
Формула (64), выражающая функцию и (t) через функцию v(x), носит название преобразования Гильберта, а формула (69), дающая решение интегрального уравнения (64), — обратного преобразования Гильберта.
4°. Интегральное уравнение теории крыла самолета. При отыскании профиля тонкого крыла самолета важную роль играет интегральное уравнение
а
~ J-737 ==«(*). —а<х<а, 0<а<оо, (70)
214
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где v (х) и и (я) — действительные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера в интервале —а<.х<а Для предельных значений (дс) = lim./7 (z), Imz>0,
2-+Х
F~ (х) = lim F(z), 1тг<0, функции
Z-+X
—a
в силу формул (106) и (107) главы II имеют место
формулы
F+(x)-F~(x) = v( х), (71)
а
F+(x)-fF-(*) = ^ J т=?> -а<х<а. (72)
—О
Из равенств (70) и (72) следует, что функция F (г) должна быть решением краевой задачи
F+(x) + F~(x) —а<х<а, (73)
F+(x) — F~(x) = 0, — со Сх С — а, а< лг<оо. (74)
В силу (73) и (74) для функции
Q (г) = у аг — z*F (z) (75)
имеем краевые условия
a>{x) + Q-W-{iV?zr*uix)' -“<*<“¦ (76)
10, —оо <.x<L — a, a<.x<Loo.
Как уже было показано в пункте 5° § 5 главы II, решение задачи (76) дается формулой
( Ф(г), lmz>0,
°<г>-( -ф\1 1тг<о! <77>
где
Ф<2)-----Ш ^-~Т~г(— + Т’ (78>
—а
а Со — произвольная постоянная. у
§ 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 215
Вычислим значения ?2+(х) и ?2~(х) на основании (77) и (78):
, 1 Г (0 dt Со
/—л: 2 '
Отсюда в силу (75) и (71) непосредственно следует формула обращения интегрального уравнения (70):
¦W —s/V^T?7+Psb- ™ —в
где С = Re С0.
Подбирая достоянную С по формуле
с—1
—О
из (79) получаем ограниченное вблизи конца а решение уравнения (70):
•»—(80> —в
Формула (80) называется преобразованием Гильберта в конечном интервале (—а, а).4
5°. Интегральное уравнение с логарифмическим ядром. В механике сплошной среды часто встречается интегральное уравнение вида
а
^ J \og\t — x\v{Jt)dt*=u (х), —а<х<а, (81)
—а
где и (х) и v (х) — действительные функции.
В предположениях, что и(х) дифференцируема и v(x)
и при —а<д:<а удовлетворяют условию Гёльдера,
повторяя рассуждение пункта 2° § 5 главы II, в результате дифференцирования уравнение (81) можно записать
216
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в виде
а
v(t)dt =_u, (л.), —а<х<а, (82)
—а
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.
В силу формулы (79) общим решением уравнения (82) является функция
= i/~IEES№ + —?____________________
О V Ф-* t-x +
—а
где С — произвольная действительная постоянная.
Как уже было отмечено в предыдущем пункте, ограниченное вблизи конца а решение уравнения (82) дается формулой
n(r\= i С l/~(a + fl(fl-*) «'(<)#
' ’ я J V (a—t) (a-fx) t—x
— а
В приложениях порой требуется найти решение v (х) уравнения (82), ограниченное на обоих концах интервала (—а, а). Оно, очевидно, существует лишь при наличии равенства
( -уДМ- = 0 (83)
— а
и имеет вид
/ ч 1 С 1 и' (t)dt ^ ^
— а
Условие (83), в частности,, соблюдено, .если функция и(х) является четной.
ГЛАВА VI
МЕТОДЫ, НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ НА ПРАКТИКЕ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Метод разделения переменных
1°. Решение основной смешанной задачи для уравнения колебаний струны. В теории колебаний струны важную роль играют решения уравнения
&и__&и_ = 0 (1)
дх* а/а 1 '
представимые в виде
и(х, t) = v(x)w(t) (2)
и именуемые стоячими волнами.
Подставляя выражение (2) для и(х, t) в левую часть уравнения (1), получаем
v" (х) w(t) — v (х) w" (t) = О
или
v'(x) _ w"(t) Пч
у(*) w(t) • ^
Так как левая часть (3) не зависит от t, а правая часть —от х, то
= const Г4)
у(*) w(t) LOnSl-
Обозначив через —к постоянную в правой части (4), перепишем эти равенства в виде
Vя (х) -f kv (я) = 0 * (5)
W (t) + kau(t) = 0, (6)
представляющие собой обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение v (я) уравнения (5) имеет вид
v = схх + с% (7)
218
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
при А, = 0,
v = сг cos У\х-\-с2 (8)
при Х,>0 и
v = схё^~х х + с2е~ уГ~к х (9)
при Я, < 0, где сг и с2 — произвольные действительные постоянные.
Точно так же в соответствии с тем, А, = 0, Х>0 или А,<;0, общее решение уравнения (6) запишется в виде
w = cst + c4,
w=*c3 cos j/X,Z + c4sin Y%t, (10)
w = c3eyr~*‘t + c4e~
где ca и c4 — произвольные действительные постоянные.
Пусть требуется найти нетривиальное (не равное тождественно нулю) регулярное в полуполосе 0<л:<;л, t> 0 решение и(х, t) уравнения (1), непрерывное при Osgjtsgxc,
