Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Доказывается, что если: 1) F (?) аналитична в полуплоскости Re?>?0, 2) при Re ? 2s а для любого а>|0 ровномерно относительно arg ?
lim F (0 = 0
?-о°
и 3) интеграл
00
J F (а + t'rj) dr]
—00
абсолютно сходится, то преобразование, обратное (86), существует и оно имеет вид
ОО
M = i ^F(a + h])e^<h], (87)
—юо
где интеграл понимается в смыслг главного значения.
В обозначениях
= 0<r% G(x\) = y=F (a + /rj)
242
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
формулы (86) и (87) записываются следующим образом:
СО
(88)
ОО
*(0=/Ь $ (89)
—ОО
Определенная по формуле (88) функция G(tj) носит название преобразования или трансформанты Фурье функции g(t). Если g(t) = 0 при — оо<<< 0, то в качестве нижнего предела интегрирования в правой части (88), очевидно, можно брать — оо.
Когда функция g{t) определена всюду при —со < </<оо, но она не обязательно равна нулю при — оо < </<0, преобразование Фурье этой функции называется интеграл
СО
G(T,) = ffe (90)
—ОО
Для существования преобразования Фурье (90) достаточно чтобы: а) функция g(t) имела конечное число экстремумов, б) она была непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, и в) интеграл
? g(t)dt
—СО
сходился абсолютно, причем обращение (90) дается формулой (89).
Доказательство этого факта хотя и не требует привлечения сложного аппарата, но на нем мы здесь останавливаться не будем.
Заменой переменного интегрирования rj на — rj убеждаемся в том, что формулу (89) можно принять за исходное определение преобразования Фурье, для которого преобразование (90) будет обратным.
Преобразованием Меллина функции f(t), заданной при Q<L*<oo, называется интеграл
ОО
(•1)
J 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243
где С — комплексное переменное, под понимается однозначная функция
а под log/ — главная ветвь этой функции.
При \=a — ix в результате замены переменного интегрирования формула (91) принимает вид
F (а — гт) = J e°V-iTV (е*) d%. (92)
—СО
В предположении, что функция e*lf (^) удовлетворяет условиям, достаточным для существования преобразования Фурье, и^ (92) в силу (89) получаем
со
е®1/ (е1) J F (а — гт) ё^х dx
—ОО
или, возвращаясь снова к переменному f =
ОО
/(0=4 j F (a — ix) Н“-'т) dx =¦
—ОО
оо
“21п + (93)
—ОО
Следовательно, преобразование, обратное (91), дается формулой (93). Эту формулу иногда записывают в виде
a + foo
м- Ш 3 (94)
a—too
Систематическая теория интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина и др. составляет содержание одного из разделов прикладной математики, носящего название операционного исчисления.
3°. Применение интегральных преобразований к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Ядро К (г, С) интегрального представления (69) решения у (г) обыкновенного дифференциального уравнения (68) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с частными производными (70).
244
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
В пункте 1° мы брали вполне определенное решение К (г, ?) уравнения (70) и с его помощью строили решения уравнения (68). Попытаемся теперь поступить в некотором смысле обратно.
Пусть требуется определить регулярное в полуполосе 0<х</, />0 решение и(х, t) линейного уравнения с частными производными второго порядка, с коэффициентами, зависящими только от пространственного переменного х:
а М 5 + 6 М S + с (*) Й + d S + е ^ “ = °* <95)
непрерывное при O^x^l, t^s 0 и удовлетворяющее начальным
ди (х, О
и(х, 0) = ф(*),
dt
<=о
= i|>(x)
(96)
(97)
и краевым
и(0, 0 = Ы0. и(1, 0 = /2(0
условиям.
Предположим, что класс решений уравнения (95) и комплексный параметр ? подобраны так, что существуют интегралы
v(x, Ъ) = \ и(х, t) е~& dt, (98)
о
ОО 00
М?) = $ и (0, t)e*dt, F2(?) = $ и (I, f)e#dt (99)
о о
и оправданы все проделанные ниже операции:
<Pv(x, D
dx*
dv (*. S)Г ди (х, t) tt di
dx J дх *
о
00 ОО
'С ^ g-^ df =» С f и(х, t) dt + и (х, t)e~&
о о
= lv(x, С)-ы(х, 0),
00
y^Ae^dt = ^v(x, С)-Си(дс, 0)-^-4
(100)
(101)
(102)
(103)
4=0
$ 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
245
Умножая обе части уравнения (95) на ег& и интегрируя по t от / = 0 до t = co, в силу (96), (97), (98), (99), (100), (101), (102) и (103) получаем
av" + си' + (е + -f Ы?) v = by (x)t + b\J? (x) + dtp (x), (104)
o(0, C) = /ri(C), v(l, C)-F,(C). (105)
Таким образом, решение смешанной задачи (95), (96), (97) редуцировано к отысканию решения v (х, Z) краевой задачи (105) для обыкновенного дифференциального уравнения (104).
Наличие решения задачи (104), (105) не всегда может гарантировать даже возможность обращения преобразования Лапласа (98).
Когда задача (104), (105) имеет, и притом единственное, решение v(x, ?), допускающее обращение преобразования Лапласа (98):
ОО
и(х, t) = ~ j v(x, a + ir]) e^a+i1i)t dr\, (106)
—CO
задача (95), (96), (97), очевидно, не может иметь более одного решения. Если представленная по формуле (106) функция и(х, t) непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка, то она будет искомым решением задачи (95), (96), (97).
Так как нахождение функции и(х, t) по формуле (106) требует довольно громоздких вычислений, в физике при решении конкретных задач для уравнений с частными производными предпочитают пользоваться преобразованием Фурье, тем более что выполнение условий, достаточных для существования обратного преобразования Фурье, считается вполне естественным.
