Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 66

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 88 >> Следующая

Доказывается, что система (149) относительно значений и (х, у) в остальных узлах, принадлеоюащих D, всегда имеет, и притом единственное решение, которое в пределе при 8-»-0 совпадает с искомым решением задачи (147), (148).
3°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Сеточная замена уравнения теплопроводности
S-Sг° <150>
в силу (145) имеет вид
u(x+h, y) + u(x — h, у) —
— 2и(х, y) — hu(x, y) + hu(x, y — h) — 0. (151)
Пусть D — область плоскости переменных х, у, ограниченная отрезками О А и BN прямых у = 0, у — Н, Н> 0, и гладкими кривыми ОВ и AN, каждая из которых пересекается с прямыми у = const не более чем в одной точке. Обозначим через S часть границы области D, состоящую из OB, ОА и AN.
Для того чтобы учесть краевое условие
“(*. y) — f (х> У), (х, y)e=S,
при отыскании приближенного решения уравнения (150) в области D, обозначим через QA совокупность квадратов сети, не выходящих из замкнутой области D, а через <3Qa — границу Qh.
Пусть ^ — совокупность квадратов из QA, по крайней мере одна вершина которых лежит на dQh, кроме вну-
256
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
тренних квадратов самого верхнего ряда, примыкающего к отрезку BN (рис. 26).
В узлах (х, у), являющихся вершинами квадратов из <7д, за и (х, у) примем значение / в ближайшей к этому
узлу точке на S. Неизвестные значения и (х, у) в остальных узлах, лежащих в D, находим решением линейной алгебраической системы (151).
4°. Общие замечания относительно метода конечных разностей. Заменяя частные производные их приближенными значениями (145), любое нелинейное дифференциальное уравне-~х ние с частными производными
F(x, у, и, их, ...) = О можно заменить нелинейной конечной системой
F(x, у, и(х. у), “<ч»-;С~*'»)....)-0.
Однако при сеточной замене краевых и начальных условий, особенно когда в них участвуют частные производные от искомого решения, возникают некоторые сложности, которые далеко не всегда легко преодолимы.
Построение решений полученной конечно-разностной системы требует привлечения современной вычислительной техники. Ввиду того, что даже в линейном случае при достаточно малом h число уравнений системы велико, а возможности вычислительных машин ограничены, важное значение приобретает удачная сеточная замена краевых и начальных условий.
§ 4. Асимптотическое разложение
1°. Асимптотическое разложение функции одного пере»
менного. Пусть в некоторой окрестности точки г0 плоскости комплексного переменного z заданы функции /(г), S„(z), п = О, 1, и множество Е точек этой окрестности, для которого zQ является предельной точкой.
В N
/ 1 f-
f & %



% л %
\ % %
Рис. 26.
$ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
257
Если известно поведение функций Sn (z), л = О, 1, в окрестности точки г0, то наличие равенств
lim [Sn (2) — Sn~i (2)] = 0, Sn Ф S„-i,
lim s W~0' 2eE’
Sn(Z) — Sn-i(Z)
для каждого фиксированного л позволяет получить определенное представление о поведении функции f (2) вблизи точки 20.
В качестве z0 часто берут бесконечно удаленную точку плоскости 2, а в качестве S„ (г) — сумму
*=0
где а* —заданные числа.
Если для любого фиксированного л
lim г" [/(г) — S„(2)] = 0, геЛ, (152)
г—юо
говорят, что ряд
00 + ^- + ...+^ + .- (153)
независимо от того, сходится он или нет, является асимптотическим разложением функции f(z) на Е, и пишут
г*
*=о
Когда имеет место соотношение (152), для коэффициентов ak ряда (153) из (152) получаем
ао= lim f{z),
г—* со
an = \\mzn[f{z) — Sn-1(z)], л= 1,2,... (154)
2-»-00
Отсюда заключаем, что если функция f(z) имеет асимптотическое разложение, то оно единственно.
Это утверждение вовсе не означает, что - один - и тот же ряд вида (153) на одном и том же множестве Е не может служить асимптотическим разложением для разных функций. Так, например, для функции f(z) = e~z на множестве Е: {0<Гг<оо}, в силу (154), асимптотическим
8 А. В, Бицадзе
258
ГЛ. V!. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
разложением является ряд (153), все коэффициенты которого ак = 0, k = 0, 1, ... Очевидно, что этот же ряд является асимптотическим разложением и для функции
/ (г) = о.
Только что рассмотренный пример показывает, что при сходимости асимптотического ряда функции f (г) сумма этого ряда может не совпадать с f(z).
Рассмотрим функцию
ОО
f(z)=Je^^-, 0<z <оо, (155)
г
где интегрирование происходит вдоль участка г < / < оо действительной оси.
После интегрирования по частям из (155) имеем
Ж=г-~ J
г
Повторяя этот процесс, получаем
Я— I 00
/(г)= 2 (-1)*-^Г + (-1)лл! J (156)
fe =о
Легко видеть, что асимптотическим разложением заданной по формуле (155) функции /(г), когда множество Е совпадает с положительной действительной осью, является ряд
+ + (157) В самом деле, обозначая через Sn(z) сумму первых п членов ряда (157),
sn(*)=2(-i)*-lJ^.
в силу (156) будем иметь
СО
/(z)-Sn(z)-(-l)»nl J «-'-jgr-
t
(-1С'Ч|жг-(я+1)?«"-ет1 <158>
{л+а
г
S 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
259
Отсюда, учитывая то обстоятельство, что
0< С ег~4-< - —
J <л+2^л+1 z«+i’
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed