Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
К сожалению, преобразование Фурье теряет смысл для достаточно обширного класса функций. Так, например, даже когда G (х) = const ф 0, интеграл в правой части (89) ие сходится. Тем не менее постулируется существование
преобразования Фурье от постоянной 6 = и по определению, дает так называемую б-функцию Дирака
ОО
S(x)=~ \ (138)
—00
Постулируется также существование преобразования, обратного (138):
ys-ps?*®*4** (139)
—СО
или, что то же самое,
f fi(8)r**dE-l.
— ОО
Предположим, что функция f(x), — оо«0<оо, удовлетворяет условиям, достаточным для существования
252
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
взаимно обратных преобразований
СО
F(x)=m § (,4°)
— со
00
Пх) = 7Тп S F (141>
— со
В силу (122), (125), (139), (140) и (141) для свертки /*б будем иметь
00 00
f*8= J f{t)b(x-t)dt = y= J Fa)^dl = f(x).
— 00 —со
Таким образом, мы пришли к очень важному выводу о том, что свертка f* б дает значение функции f в точке х:
f *6 = f (х). (142)
Формула (142) сильно упрощает громоздкие вычисления, встречающиеся особенно в квантовой механике.
В частности, когда f(x)= 1, — oo<x<oo, из (142) и
(122) в результате простой замены переменного интегрирования получаем
ОО
$ б (t)dt=l. (143)
— 00
Иногда б-функцию Дирака б (t) определяют как функцию, равную нулю для всех отличных от нуля t и равную оо при t = 0, с требованием, чтобы имело место равенство (143).
Такое определение б-функции не укладывается в рамки обычных классических понятий математического анализа. Строгое математическое обоснование совершенных выше операций с участием б-функции Дирака дается в современной теории обобщенных функций.
/ | 8. Метод конечных разностей
1*. Конечно-разностная замена уравнений е частными
производными. В приложениях часто требуется найти приближенное (в определенном смысле) решение конкретных задач математической физики. Ниже дается краткое
§ 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
253
описание одного из методов построения приближенных решений дифференциальных уравнений с частными производными, носящего название метода конечных разностей или сеточного метода.
Пусть задано линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными
а(х, У)^ + Ь(х, у)~ + с(х, y)d? + d(x, у)ру+
+ е(х, y)u = f(х, у). (144)
Считая х, у декартовыми ортогональными координатами, покроем плоскость переменных х, у квадратной сетью
x = m-h, y = ti-h, т, п = 0, ±1,
где h — заданное положительное число. Вершины каждого квадрата этой сети называются узлами, а число h — шагом.
Исходя из определения частных производных, в каждом узле (х, у) при условии, что все пять точек (х, у), (x — h, у), (x + h, у), (х, y — h), (х, y + h) принадлежат области D задания уравнения (144), можно считать, что
ди (х, У)^,и (х, у) —и (x—h, у) дх ~ h *
ди (х, у) _ и (х, у) —и (х, y—h)
дУ ~ Л ’ П4М
д*и (х, у) ^ ,и (x+h, y) + u(x—h, у) — 2и (х, у) ' ’
дх* ~ Л2
д*и (дс, у) л . и (дс, y + h) + u(х, y—h) — 2u (х, у)
"" V /? •
Следовательно, мы вправе в каждом указанном выше узле уравнение с частными производными (144) приближенно заменить линейным алгебраическим уравнением
а(х, у)[и(x + h, y) + u(x — h, у) — 2и(х, у)] +
+ b(x, у)[и(х, y + h) + u(х, y-h) — 2u(x, «/)] +
+ ch[u(x, у) —и (x — h, y)\ + dh[u(x, у) — и(х, y — h)) + + h2e(x, у) и (х, у) = h2f (х, у) (146)
относительно и(х, у), и (x — h, у), и (x + h, у), и(х, y — h), «(*. y+h).
254
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Когда точка (х, у) пробегает узлы, принадлежащие области D, в качестве (146) мы будем иметь систему линейных алгебраических уравнений относительно значений и(х, у) в указанных узлах. Некоторые из этих величин либо прямо определяются независимо от системы (146), исходя из начальных и краевых условий, либо эти последние порождают дополнительные к (146) линейные алгебраические уравнения, составляющие вместе с системой (146) приближенную сеточную замену всей исходной
Щ % %
& % w
щ % т г г и v//,
У/,
г V/,
% i
У/, v4
% % 3
т-
Рис. 25.
задачи. Решение таким образом полученной системы линейных алгебраических уравнений принимается за приближенное решение рассматриваемой задачи.
2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Пусть требуется построить сеточным методом приближенное решение задачи Дирихле
и(х, у) = <р (х, у), (х, y)&S, (147)
в области D с границей S для уравнения Лапласа
S + S = (148>
В этом случае система (146) принимает вид
u(x + h, y) + u(x — h, у) +
+ и(х, y + h) + u{x, y — h) — 4u{x, y)~Q. (149)
§ 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
255
Обозначим через Qa совокупность лежащих в области D квадратов сети, по крайней мере одна вершина которых удалена от S на расстояние не больше, чем наперед заданное число 8>h (рис. 25).
В каждом узле, являющемся вершиной квадрата из Q&, за и(х, у) примем заданное значение (147) искомой гармонической функции в ближайшей от (х, у) точке на S (когда таких точек на S несколько, то произвольно выбирается одно какое-либо из заданных значений ф в этих точках и к нему приравнивается и(х, у)).
