Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
D(u) = ^(ul-\-ul)dxdy, (183)
D
распространенного по области D с границей S.
Непрерывные в D U S функции с кусочно-непрерывными в D первыми производными и конечным интегралом Дирихле, принимающие на S наперед заданные значения Ф (*> У), будем называть допустимыми функциями.
Существует тесная связь между задачей Дирихле об определении гармонической в области D функции и (х, у), непрерывной в D U 5 и удовлетворяющей краевому условию
и(х, У) = <р(х, у), (х, ii)s5, (184)
268
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
и так называемой первой вариационной задачей об отыскании среди допустимых функций той функции, для которой интеграл Дирихле (183) минимален.
Если заданная на S функция ср (х, у) такова, что класс допустимых функций не является пустым, то задача Дирихле и первая вариационная задача эквивалентны.
Справедливость этого утверждения мы покажем при некоторых дополнительных предположениях.
Пусть и (х, у) — решение первой вариационной задачи. Класс допустимых функций представим в виде и (х, у) + -\-eh(x, у), где е — произвольная постоянная, ah(x,y) — произвольная функция из класса допустимых функций, удовлетворяющая условию
h(x, у) = 0, {х, y)e=S. (185)
Очевидно, что
D(u + Bh) = D (и) + 2eD (и, Л) + e2D (Л) О, (186)
где
D (и, h)=\ (ujijc + Uyhy) dx dy.
D
Так как u(x, «/) —минимизирующая функция и e — произвольная постоянная, то из (186) заключаем, что
D(u, Л) = 0. (187)
Функции и (х, у), h (х, у) и контур S будем "считать
настолько гладкими, что для них справедливы тождества
ujix + Uyhy = (uji)x + (uyh)y — hAu, (188)
D (u, h) = J h^ ds — ^ h Au dx dy,
где v —внешняя к S нормаль.
В силу (185) и (187) из (188) имеем
^ hAudxdy = 0t
D
откуда при предположении, что Аи является непрерывной функцией в D, в силу произвольности h(x, у) заключаем, что Аи(х, у) = 0. Следовательно, при принятых допущениях решение первой вариационной задачи является решением задачи Дирихле,
§ 5. ПОНЯТИЙ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ 26.
Пусть теперь и (х, у) — решение задачи Дирихле с граничным условием (184) для уравнения Лапласа, а и(х, y)-\-uh(x, у), как и выше, — класс допустимых функций, причем для и (х, у) и h (х, у) имеет место формула (188). Из этой формулы в силу (185) и гармоничности и(х, у) следует равенство (187). Поэтому из (186) имеем
D(u)^D(u + eft),
а это означает, что функция и (х, у) минимизирует интеграл Дирихле и, стало быть, она является решением первой вариационной задачи.
Существуют и другие краевые задачи для уравнения Лапласа, которые имеют эквивалентные им вариационные задачи для интеграла Дирихле. Среди них можно назвать, например, задачу Неймана.
Идея сведения краевых задач для уравнения Лапласа к эквивалентным им вариационным задачам для интеграла Дирихле принадлежит Риману. Эту идею принято называть принципом Дирихле.
2°. Задача о собственных значениях. В пункте 2° § 1 настоящей главы была рассмотрена задача о собственных значениях: в ограниченной области D с кусочно-гладкой границей S требуется определить собственные числа и собственные функции уравнения
Au-\-Xu = 0, (х, y)^D, X = const, (189)
т. е. найти значения X, при которых это уравнение в области D имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие однородному краевому условию
и(х, у) = 0, (х, y)<=Si (190)
и построить их.
Наименьшее собственное число задачи (189), (190) получается решением следующей второй вариационной задачи: среди допустимых функций, удовлетворяющих условию (190), найти ту, для которой функционал
J (и)_ D (ц)
( ’ Н (и) ’
где
Н (и) = ^ и2 dx dy
D
принимает наименьшее значение.
270
ГЛ VI МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Действительно, пусть и (х, у) — решение второй вариационной задачи, причем наименьшее значение J (и):
jw=im=x>0- (191)
Для класса допустимых функций и(х, у)-\-гк(х, у), где е — произвольная постоянная, ah(x, ^ — произвольная допустимая функция, удовлетворяющая условию (185), имеем
с/„\_ D{u + th) D(u) + 2eD(u, /i) + e2D(/i) ^ ,
Г ( “ Н (u + eh) ~ Н (и) + 2еЯ (и, А) + е*Я (Л) ^ Л’
где
Н (и, Л) = § uh dxdy.
D
Так как функция F (е) при е = 0 имеет минимум, то
F, „ H(u)D(u, h)—D (и) Н (и, К) _ 0 НЦи) ~ '
откуда в силу (191) получаем
H(u)[D(u, h) — 'kH(u, Л)] = 0
или, ввиду того, что Н(и)Ф 0,
D(u, h) — XH (и, h) = 0. (192)
Допуская, что условия гладкости функций и(х, у), h(x, у) и контура S области D позволяют пользоваться формулой (188), перепишем равенство (192) в виде
Н (Аи + ки, К) = 0,
откуда, как и в предыдущем пункте, заключаем, что U(x, у) удовлетворяет уравнению (189).
Если X* — отличное от X собственное число, а и* (х, у) — соответствующая ему собственная функция задачи (189), (190), то в силу (188) будем иметь
Я(Ди* + Х*и*, u*) = — D{u*) + X*H(u*) = 0.
Из этого равенства следует, что среди собственных чисел задачи (189), (190) число X является минимальным.
Все сказанное выше остается в силе, если вместо интеграла Дирихле ввести в рассмотрение квадратичный
§ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ
271
функционал
Е (и) = $ [р (и% + ul) + 2аиих + 2Ьииу + си2] dx dy,
р> 0, СггСО,
