Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
0 и удовлетворяющее краевым условиям
ы(0, t) = 0, и(п, t) = 0, t^O. (11)
Будем искать решение задачи (1), (11) в виде стоячей волны (2). Тогда функции v (х) и w (t) должны удовлетворять уравнениям (5) и (6) соответственно и условиям v (0) w (t) = v (я) w (t) = 0 или, что то же самое,
.0(0) = 0, о(я) = 0. ' (12)
Задача отыскания нетривиального решения v(x) уравнения (5), удовлетв9ряющего условиям (12), является частным случаем так называемой общей спектральной задачи или задачи Штурма —Лиувилля.
Значение X, для которого уравнение (5) имеет нетривиальное решение о(*), удовлетворяющее условиям (12), называется собственным числом, а само решение v(x) — соответствующей К собственной функцией.
Нетривиальные решения задачи (5), (12) вида (7) и (9) не существуют, ибо, подставляя выражение (7) и (9) для v(x) в (12), получаем с2 = 0, ясх4-с» = 0 в первом случае и с1-\-с2 = 0, е^~касг + е~ ^ncs = 0 во втором случае, т. е. в обоих случаях сх = с2 = 0. Теперь, подставляя выражение (8) в (12), будем иметь Ci=*0, c2sinyrA,n = 0. Отсюда видно, что задача (5), (12) будет иметь нетри-
§ 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
219
виалыюе решение вида (8) тогда и только тогда, кйгда
sin я = 0,
т. е. когда % = п2, где га —отличное от нуля целое число.
Ввиду того, что функции sin пх и sin (—п)х = — sin ля линейно зависимы, естественно ограничиться рассмотрением лишь натуральных значений 1, 2, ... для п.
Таким образом, мы пришли к заключению, что А, = л2, п== 1, 2, ..., являются собственными числами задачи (5),
(12), а функции с„ sin пх, п = 1, 2, ..., где с„ — произвольные действительные постоянные, отличные от нуля, — соответствующими им собственными функциями.
Ниже будем предполагать, что постоянные с„= 1, я=1, 2, ... В соответствии с этим система собственных функций запишется в виде «„(*) = sin ля, л= 1, 2,... Следовательно, однородная задача (1), (11) имеет бесконечное множество линейно независимых решений ип (х, t)= = sin пх • w„ (О, где в силу (10)
wn (t) = ап cos nt+b„ sin nt,
a On и b„ — произвольные действительные постоянные. Набор решений
sin я* (о» cos4-sin/if), n=l, 2, ..., (13)
уравнения (1) позволяет найти решение следующей основной смешанной задачи', ^требуется определить регулярное в полуполосе 0 < * <хс, t>0 решение и (х, t) уравнения (1), непрерывное при 0 с ж; хс, t^Q и удовлетворяющее краевым условиям (11) и начальным условиям
и(х, 0) = ф (х), ди?' 0
t=0 = *(x), (14)
где ф (д:) и ^ {х) — заданные достаточно гладкие действительные функции.
Решение и(х, t) задачи (1), (11), (14) будем искать в виде ряда
00
и(х, t)=2 sin/ос (a„ cos nt + bn sin nt). (15)
П — 1
Очевидно, что представленная формулой (15) функция и(х, t), в предположении равномерной сходимости ряда в правой ее части, удовлетворяет краевым условиям (11).
220
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Для того чтобы она удовлетворяла и начальным условиям (14), мы должны иметь
2 sin /где = ф (дс), 2 nbn sin шс = гр(я), (16)
Из теории рядов Фурье известно, что непрерывность на сегменте 0 х ^ я функций ср" (лг) и гр' (я) и выполнение условий ф (0) = ф (я) = гр (0) = гр (я) = 0 гарантируют возможность представлений (16) и равномерную сходимость тригонометрического ряда в правой части (15). Кроме того, в этом случае сумма и(х, t) ряда (15) будет непрерывно дифференцируемой функцией при 0 sg х я, t ^ 0, удовлетворяющей условиям (11) и (14).
Если дополнительно известно, что функции ф (х) и гр(х) непрерывны на сегменте 0 с х ^ я вместе со своими производными до третьего и второго порядка соответственно, причем ф (0) = ф" (0) = ф (л) = ф" (я) = 0, гр (0) = яр (я) = 0, то представленная формулой (15) функция и(х, t) будет обладать частными производными до второго порядка включительно, которые могут быть вычислены дифференцированием почленно ряда в правой части (15). Очевидно, что в этих предположениях сумма и(х, t) ряда (15) будет искомым решением основной смешанной задачи (1), (11), (14). Каждое из слагаемых
sin пх(ап cos ni + b„ sin nt), n=l, 2,...,
в правой части (15) в теории распространения звука носит название собственного колебания (или гармоники) струны с закрепленными в точках (0, 0), (я, 0) концами.
Основная смешанная задача (1), (11), (14) не может иметь более одного решения. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно показать, что при Ф(*) = Ф(*)“0, О^дг^я, задача (1), (11), (14) имеет' только тривиальное решение.
Как уже было доказано в пункте 1° § 3 главы III,
ОО
ОО
откуда находим
я
п
гр (я) sin пх dx.
решение однородной задачи Коши и{х, 0)=0,ди ^=0,
5 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
22!
Osgjcsgn, для уравнения (1) тождественно равно нулю в прямоугольном треугольнике с вершинами в точках А (0, 0), В (я, 0), С (я/2, л/2). Легко видеть, что решение и(х, t) уравнения (1), равное нулю на прямолинейных отрезках АС и AD, где D = D (0, я/2), обращается в нуль всюду в треугольнике ACD. Действительно, интегрируя тождество
______п д [ ди_ ди_\ , _d_ I ди \з , д / ди\2_ ^
dx\dxdt)'dt\dx) ' dt \ dt )
по треугольной области ACXDX, где Сх = Сх (т, т), Dx — = DT(0, т) при любом фиксированном т, 0<т<я/2, в силу формулы (GO) получаем
