Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что все проделанные ниже операции законны. Из (69) имеем
L(y)=\L(K)v(t,)dt
с
или, приняв во внимание (70),
L(y)=\M(K)v(QdL (71)
с
д2
где М —дифференциальный оператор, М = а (?) ^ +
+ 6(С)| + с(С).
Интегрируя по частям выражение (71) и допуская,
что все проинтегрированные слагаемые равны нулю, будем
иметь
L(y)=\K(z, Z,)M*(v)dZ, (72)
с
ГА*
(av) - ~ (bv) + с (0 v
s 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 237
— дифференциальный оператор, сопряженный с оператором М по Лагранжу..
Если функция v удовлетворяет уравнению
M*(i/) = 0, (73)
то представленная по формуле (69) функция у (г), очевидно, будет решением дифференциального уравнения (68).
В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя (45), записанное в виде
гУ + гу' + (г* -п2)у = 0, (74)
где число п на этот раз не обязательно целое.
Решение у (г) уравнения (74) будем искать по формуле (69), в которой
К (г, ?)=гр^<г^'Ч Так как в этом случае
L (К) = г2Кгг + гКг + (2* — п2)К = — % - п*К, то равенства (71) и (72) запишутся в виде
L(y) — — ^ (Ка + n2K)v(t) d? = ± 1 j (t»ss + гЫ)г*‘л
Отсюда заключаем, что оператор М* — — ~—п2, т. е. уравнение (73) имеет вид
cPv , „ п
= 0.
Решениями этого уравнения являются функции e±in^.
Следовательно, функции, определенные по формуле (69), в которой
К (г, ?)=rp^<r‘>sint. o(EJ = e"*,
являются решениями уравнения Бесселя (74).
Все проделанные выше операции будут оправданы, если предположим, что Rez>0, и в формуле (69) в качестве пути интегрирования С примем, например, ломаные
238
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЁШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
(рис. 24)
1 = 0, —со<Т)<0; ту=0, ' —ж?<0;
? = — я, Os^tjCoo
или
1 = 0, —оо<т)<0; л =“ 0, 0«??<я;
? = Я, 0^Г)<СХЭ, ? = ? + 1Т].
Когда путь интегрирования С совпадает с ломаной
(75) и К (г, ?) =— для решения уравнения (74),
определенного в полуплоскости Rez>0 по формуле (69), примем обозначение
о
Н'п(г)~ — ~ ^ exp (— Iz sin tr] — лт|) di\ —
— ОО
—я
exp (— iz sin ? + n?i) dg —
00
— ^ J exp (iz sin irj — nr) — я nt) dr\, (77) а когда путь С совпадает с ломаной (76) и К (zK С) =
— 1 л-i* sin С Я
О
H%(z) = ± ^ ехр(—fzsinirj —nri)dri +
— 00
Я
+ i J exp(— lzslnl + n?i)(% +
00
+ j exp (iz sin lr\ — nrj + nni) di\. (78)
Учитывая то обстоятельство, что
. . «-’l—«ч shn
slntt]-—2j— - --7Л
f г. МЕТОД ИНТВГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 239
после простых преобразований формулы (77) и (78) примут вид.
о
= Д J ехр (г sh т) — w]) dx\ +
—ОО
О
+ 1Г J ехр(—fcsinl + inl)d^ +
— Я
ОО
+ ^ ^ ехр (— г sh rj — гщ — nnt) dr\, (79)
о
о
HI (г) = — i J ехр (2 sh rj — nrj) dr) +
— 00
п
+ ^ J ехР(— izslnt + int)d?-
СО
— X ^ ехр (— z sh т] — ш\ -J- nni) di\. (80)
о
Определенные по формулам (79) и (80) решения уравнения Бесселя (74) называются функциями Ханкеля, а их комбинации
У„(2)= I [Н'п (г) + HI (г)), (81)
ЛШ=1[Я’(г)-ВД] * (82)
— бесселевой функцией и функцией Неймана соответственно. В силу (79), (80) и (81) имеем
Л
J„{z) =¦=! ^ ехр(— 12sin? + п$<% —
— Л
ОО
^ ехр (— г sh т] — лт]) dij. (83)
81Л ПЛ
240
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Когда п — целое число, второе слагаемое в правой части (83) отпадает и для Jn(z) получаем выражение
Я
5 ехр(— izsing + m?)d? =
— Я
Я
^ cos (г sin ? — п%) (84)
Из формулы (84) следует, что У„ (г) при целом значении индекса п является целой функцией комплексного переменного г, причем
Я
J-n (г) = ^ § cos (г sin ? + nQ = о
я
j cos[2sin(n — <) + я(я — t)]dt=*
Я
= (—1)"~ ^ cos (zsin t — nt) dt = (—1)" Jn (г). о
Доказывается, что решения (79) и (80) уравнения Бесселя (74), определенные этими формулами в полуплоскости Rez>0, аналитически продолжаются в полуплоскость Re2<0 при любом индексе п, причем для полученных после аналитического продолжения функций значения 2 = 0 и г—оо переменного г являются точками ветвления, когда число п — не целое.
Кроме того, функции J„{z) и N„(z) линейно независимы и их можно представить в виде сумм рядов
¦ СО
-Мг) = 5 ^**1 Г (л+А+1) ('2") (85)
* = 0
и
N (г) = ^п ® С08 пп—^ л ' ' sin ял
соответственно.
В том, что представленная по формуле (85) функция J„ (г) является решением уравнения (74), легко убедиться непосредственной проверкой, если учесть известное свой-рТ^о гамма-пункции Эйлера Г^+1^ = АГ(Л),
s 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
241
2°. Понятия преобразований Лапласа, Фурье и Мел-лина. Пусть действительная или комплексная функция f(t) действительного переменного i, O^i<со, удовлетворяет условиям: 1) f(t) непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, и
2) существуют постоянные М>0 и |о>0 такие, что | / (t) I с Met°f для всех t.
В этих предположениях интеграл
F(Z,) = \f(t)<r*dt (86)
о
существует для всех ? с действительной частью Re?>io и представляет собой аналитическую функцию комплексного переменного ? = ? +гт) в полуплоскости Re ? > доопределенная по формуле (86) функция F (?) называется преобразованием, изображением или трансформантой Лапласа функции f(t), а сама f (t) — функцией-оригиналом.
В приложениях часто приходится обращать равенство (86), т. е. выражать функцию-оригинал f(t) через ее лапласово изображение F (?).
