Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
[ *?т<*+(?)'*+(1г/*-о-
АСХ + СХЪХ+°ХА
Отсюда, поскольку « = 0 на отрезках АСХ и DXA, находим, что
5 [(?)’+(?)>-»¦
Dxcx
т. е. d~jx’ — = ди = 0 вдоль DXCX и, стало быть,
и(х, t) = 0B треугольнике ACD. Аналогично доказывается, что и (х, t) = 0 и в треугольнике BCDU где Dx = Dx (я, я/2).
Так как функция и(х, t) при t — я/2, 0=^*=^я, удов-
летворяет однородным начальным условиям и (лс, t) — ди (х. t) п
= —^ ' = 0, то последовательным применением приведенного выше рассуждения приходим к заключению, что и(х, t) = 0 в полуполосе Ой^лгСл, 0 всюду.
2°. Задача колебаний мембраны. Колебания упругой мембраны с закрепленными краями вдоль кривой С, лежащей в плоскости t = 0 и ограничивающей конечную область бэтой плоскости, описываются решением волнового уравнения с двумя пространственными переменными х, у:
— _L. — о т\
dx» ^ ду* dtа ’ V*
удовлетворяющим начальным
и(х, у, 0) = Ф(*. у),
222
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
и краевому
и(х, у, 0 = 0, fSs 0, (д:, у)<=С, (19)
условиям.
Как и при рассмотрении стоячих еолн в предыдущем пункте, для того чтобы выражение вида
и(х, у, t) = v(x, y)w(t) (20)
было решением уравнения (17), функции v(xr у) и w (t) должны удовлетворять соответственно уравнениям
At>(x, y) + kv(x, у) = 0 (21)
и
и>' (0 + ht> (0 = 0, (22)
где
Х«=—= const,
v(x, у) w(t) ’
д* д* а Л —оператор Лапласа +
Подставляя значения функции и(х, у, t) из (20) в краевое условие (19), получаем
v{x, y)w(t) = 0, (х, y)s=C, <=э=0.
Это равенство в свою очередь равносильно краевому условию
v(x, у) —0, (х, у) sC, (23)
для функции v(x, у).
Значение Я,, для которого однородная задача Дирихле (23) для уравнения Гельмгольца (21) имеет нетривиальное решение v(x, у), называется собственным числом, а v (х, у) — соответствующей К собственной функцией.
Предположим, что контур С плоской области G является кусочно-гладкой кривой Жордана, a v (х, у) — собственной функцией задачи (21), (23), соответствующей собственному числу Я,.
Интегрируя очевидное тождество
(?Г+(*)г-?ма+*(*)-*
по области О и пользуясь формулой (GO), в силу (21)
5 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
223
и (23) получаем J (Vx + Vy)dxdy= ^ v^ds — J vbvdxdy='k<^ v2dxdy.
Отсюда заключаем, что собственное число 0. Поэтому мы вправе принять обозначение A=/i2, где (х — действительное число. В соответствии с этим общее решение уравнения (22) в силу (10) имеет вид
w (t) = са cos sin (ii. (24)
Из (24) в свою очередь следует, что w (i) — периодическая функция с периодом 2п/ц.
При довольно общих предположениях относительно области G существует счетное множество собственных чисел ци (it, ... и соответствующих им собственных функций {х, у), vt(х, у), ... Этот факт ниже будет доказан для случая, когда G представляет собой круг.
Беря соответствующее |х„ решение (24) уравнения (22) в виде wn (t) = ап cos -\-bn sin(i„f, где an и bn — произвольные действительные постоянные, мы можем выписать набор решений уравнения (17) вида
ип{х, у, t) = vn (х, у) (ап cos n„t + b„ sin ц„/),
n= 1,2,... (25)
Если vk и vm —соответствующие А* и A,m собственные функции, то
$i>*(*. y)vm(x, y)dxdy = 0, Ифт. (26)
в
Чтобы обнаружить справедливость равенства (26), достаточно проинтегрировать по области G тождество
JL(a *!»_», -JL(n d°k\
дх \ * дх m дх ) ' ду \ k ду m ду )
= vkAvm — vmAvk, воспользоваться формулой (GO) и равенствами
Avk = — Xkvk, Aym = — %mvm, (x, y)<=G, vk(x, y) = vm(x, y) = 0, (x, y)e=C.
Получаем
$ (vkAvm - vmAvk) dx dy = (A* — Xm) \ v„vm dxdy = 0, a a
откуда ввиду того, что А* ф Хт, следует (26).
224
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Будем искать решение и(х, у, t) задачи (17), (18), (19) в виде суммы ряда
ОО
и(х, у, 0=2 °»(*. У) (ал cos Pnt + bn sinji„0, (27)
Л—1
где ап, bn, и=1, 2, — произвольные действительные
постоянные.
В предположении равномерной сходимости ряда в правой части (27) и допустимости его почленного дифференцирования до второго порядка сумма и (х, у, t) этого ряда будет решением уравнения (17), удовлетворяющим краевому условию (19).
Для того чтобы функция и (х, у, 0 удовлетворяла и начальным условиям (18), коэффициенты ап и Ьп должны быть подчинены ограничениям
00 оо
2 а»М*. У) = Ч>(*. у). 2 «/) = Ф(*> у), (28)
л=1 п= 1
откуда в силу (26) находим
ап = -ыг\~п) ^ Ф (*» У)(*. У)dx dy>
I G , (29)
bn= -(Vn)- ^(*, y)vn(x, y) dx dy,
П G
где
N (ил) = ^ (x, y) dx dyj/2. (30)
Число N (vn), определенное по формуле (30), называется нормой функции vn(x, у).
3°. Понятие полной ортонормированной системы функций. Говорят, что заданные в области G действительные функции vk (х, у), k = 1,..., п, отличные от тождественного нуля, линейно независимы, если нельзя указать действительных постоянных ck, ? = 1, •..., п, среди которых по крайней мере одна отлична от нуля, таких, что
П
2 с*°* (х> у)=°» (х> у) *=
*=1
t I. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
225
Бесконечная система функций
vk{x, у), 6=1,2,..., (31)
называется линейно независимой, если линейно независима любая конечная система функций vk(x, у) из последовательности (31).
