Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
г
заключаем, что
lim zn[f(z)-Sn (г)] = 0
г-* со
для любого п^1 на множестве Е.
Для каждого г, 0 < z < оо, ряд (157) хотя и расходится, но в силу (158) при достаточно больших z значения / (г) очень мало отличаются от значений Sn (г) для любого фиксированного п^\.
Если бесконечно удаленная точка плоскости г является устранимой особой точкой для'аналитической функции / (г), то, как известно, в окрестности этой точки имеет место разложение
00
<159>
* = 0
Правая часть равенства (159), очевидно, является асимптотическим разложением /(г) на любом множестве Е точек из окрестности точки г = оо, для которого эта точка является предельной.
Вводя обозначение ф (z) = о (z~n) для равенства
lim г"ф (z) = 0, легко показать, что если на одном и том
г-* оо
же множестве Е
Пг)~2тг' -!!-?• (160)
*=0 4=0
то на этом же множестве
со
f(z)±g(z)^2Ek^L> <161>
fe=0
оо
fw--g(*)~ 2-2-. <162>
4-0
где ck = сфк 4- аф^ + ... + акЬ0.
9*
260
ГЛ. Vt. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Действительно, пусть
k =0 R =0
Sn (г) = Si (г) ± S’a (z), o„ (z) = ? ?r*
*-o г
Очевидно, что
s;(2)-s;(z) = o„(z)+o(r”). (163)
В силу (160) имеем
f(z) = S'n{z) + o(z-a), g(z) = S’(z) + o(z~n). (164)
На основании (163) и (164) заключаем, что
/ (г) ± g (г) = Sn (г) + о (z~n), f(z)g(z) = an(z) + o(z-n),
и тем самым справедливость асимптотических разложений (161) и (162) доказана.
Покажем, что если функция f(z) интегрируема при 0<г<оо и на множестве Е. {0<г<оо}:
ОО
то на этом множестве
со
kzk
& = i
где путь интегрирования совпадает с участком z^f<Zco действительной ' оси.
В силу (165) заключаем, что для любого наперед заданного е>0 существует число го>0 такое, что
tk
fc = 2
для всех / > г0.
§ 4. асимптотическое разложение
261
Пользуясь оценкой (16G), при предположении г>г0 получаем
оо Г п -f-1
S
dt
<
nzn
т. е.
lim гл
ОО п
jj f (0 dt — 2
a*+i
*2*
=0,
что и требовалось доказать.
Наличие асимптотического разложения
№>~ 2 f.
вообще говоря, не гарантирует существования асимптотического разложения для производной /' (г). В этом сразу убеждаемся на примере функции / (г) = е~г sin ег, асимптотическим разложением которой при 0<2<оо является
ряд (153) с коэффициентами ак = 0, k — 0, 1.......... в то
время как ее производная
/'(г) = —е~* sine* + cose*, 0<г<оо,
не имеет асимптотического разложения, ибо при,г-»-оо она даже не имеет предела.
Заметим, что все сказанное выше остается в силе, когда в определении асимптотического разложения вместо
ОО
ряда (153) берется ряд ? akz~где ja*} — возрастаю-
fe = 0
щая последовательность неотрицательных действительных (не обязательно целых) чисел.
Приведенные ниже методы с успехом применяются при построении асимптотических разложений для некоторых классов функций.
2°. Метод Ватсона построения асимптотических разложений. Рассмотрим функцию
N
F(z) = \ tm<f>(t)e~*adt, (167)
о
где 0<;/Vсо, а>0, т>—1, z>0, а путь интегрирования совпадает с отрезком O^t^N.
262
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Имеет место принадлежащее Ватсону утверждение: если в некотором промежутке 0^t^hx^N функция ф(?) представляется в виде суммы степенного ряда
Ф«)=1)c„tk. со# 0, (168)
4 = 0
и для фиксированного значения z = z0>0
N
§ tm j ф (f) | е~г,,*а dt<.M, (169)
о
то при г-*-оо, 0<г<оо, "
°° . . . . , . m+4 + l
F(-z)-2?tr{^4r1-)z а • (17°)
4=0
Действительно, представим функцию F (г), определенную по формуле (167), в виде !h N\
F (z)^n + \\tm({l(t)e-2t'x dt, 0<h<hi.
'0 hi
Так как при г>г0 и t>h
g— (г—*•) ta q— (г — zo)
то в силу (169) будем иметь
F (г) — ^ tmф (t) е~zt<1 dt = jj /тф (<) г- г<“ dt
<Мег°н*е-гН<х.
(171) •
На основании (168)
h п h а
[ tmф (f) e~zta'dt= 2 ^ tm+ke~ df + J <т+я+1Фг (0 ^г<а dt,
о о о
00
где Фа(0= y\cn+k+itk, причем max | Фг (О I конечен.
4=0 0«f«fr
Вводя новое переменное интегрирование х = zf\ получаем
А m+4+l m+4 + l
<t 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
263
Учитывая то обстоятельство, что
со СО
jj Tp-1e-Tdx = ^ (| -f zha)p~1^e—г1,а •<
0
ztiJ
< 2*e-*A" J (zha)p~l e-tdl + e- !ha2> J d? <
о о
< 2"<r-[(z/ta)p_1 + Г (p)]
при г-»-со стремится к нулю быстрее любой степени г~а, на основании (171) и (172) заключаем, что
т + п-f 1
lim г a
г —> оо
—. / , L , m + k+1
fw_2^.r л±|±1-;г-тг-
*3.0
= 0
для любого п, откуда следует справедливость асимптотического разложения (170).
Рассмотрим теперь функцию
ы
F (г) = $ ф (0 е" * dt, А>0, N>0, z> 0, (173)
-А
при предположениях, что в некоторой окрестности —ht<C.
hi<.N, точки t = 0 имеет место представление (168) и интеграл в правой части (173) абсолютно сходится, когда z = ze>0.
Представляя функцию <S>(z) = F(2z) в виде
IN -А\ N А
Ф(г)= J— $ L(0<rrf‘d/ = $ ф(0*-**А + $ Ф(— t)e-^dt '00 / о о
и учитывяя то обстоятельство, что при O^t^h, h<.hlt h<A
ф(о+ф(-о=2 2ц,р* ft=0
V 2 У 2*
264
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
на основании (170) будем иметь
ОО
= c0Vnr-w + Vn2 13 *=1
откуда находим, что
F (г) = Ф ~ со V2n z-w +
ОО
2fc + l
-\~У~2я 2 1-3 ... (2k-l)cVlz
(174)
3°. Метод перевала. Пусть требуется найти асимптотическое разложение при г-v со, г>0, для функции
