Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 55

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 88 >> Следующая

5 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 209
§ 4. Сингулярные интегральные уравнения
Is. Понятие сингулярного интегрального уравнения.
Когда ядро К(х, у) интегрального уравнения при х — у обращается в бесконечность, так что интеграл существует только в смысле главного значения по Коши, такое уравнение принято называть сингулярным интегральным уравнением.
Пусть S — замкнутая или разомкнутая кривая Ляпунова. Говорят, что заданная на S однозначная функция К (t, t0) удовлетворяет условию Гёльдера, если для любых пар точек t, t0 и t\ t[, лежащих на S, имеет место неравенство
IK(t, to)-K(f, Q\^A{\t-t'\^ + \U-mt
где A, hu — положительные постоянные, причем 1, h% 1.
В приложениях часто встречаются сингулярные интегральные уравнения вида'
«(*о) Ф (to) + j Ф (0 dt - f (M. *oe S> (56)
где а, К и / — заданные, а ф —искомая функции, удовлетворяющие условию Гёльдера (это условие для функции одного переменного было сформулировано в пункте 1° § 5 главы II).
Для сингулярных интегральных уравнений теоремы Фредгольма, вообще говоря, не остаются в силе. При требовании, что функции a(t0) и Р(^«) = /С(^о, to) ни в одной точке t0^ S одновременно в нуль не обращаются, теория интегральных уравнений вида (56) построена в книге Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.
Ниже будут рассмотрены отдельные классы сингулярных интегральных уравнений, решения которых выписываются в квадратурах.
2°. Интегральные уравнения Гильберта. В пункте 7° § 3 главы II была выведена формула Шварца (89), которая дает интегральное представление аналитической в круге j 2 J С 1 функции
f(z) = u(x, y) + iv(X, у)
210
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
через краевые значения и (ф) ее действительной части при условии, что и(х, у) непрерывна в замкнутом круге
| z | й? 1.
Будем предполагать, что функция и ((f) —и (t0), /0 = e,(P, 0Сф«с;2я, удовлетворяет условию Гёльдера. Записывая формулу Шварца в виде формулы (87) главы II:
К*) =4 J Т=Г-«(0’ 0) + И0, 0), (57)
i*i=t
заключаем, что существует
f+ (to) = и (ф) + iv (ф), и = 0й?ф ==? 2я,
причем в силу формул (104) и (88) той же главы + (*о) = и(ф) + Иф) =
-«(Ф) + Й t 1=Г~и(°> °) + iv(°> °) = кг-t
где
¦•«+в f ш^-т i ^ + о,-
1*1 — 1 1*1-1

““M+hJ 0), (58)
На основании отмеченного в пункте 4° § 5 главы II свойства предельных значений интеграла типа Коши с плотностью, удовлетворяющей условию Гёльдера, из фор-. мулы (58) заключаем, что наряду с и (t0) = и (ф) и функция /+ (f0) удовлетворяет условию Гёльдера на окружности |<о|-1.
Так как в силу теоремы о среднем для гармонических функций имеет место равенство

°(°. у (t) % то из (58) получаем
i 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 211
где первый интеграл в правой части понимается в смысле главного значения по Коши.
Пользуясь интегральным представлением аналитической в круге | г | < 1 функции j- f (г) *¦ v (х, у) — ш (х, у) через краевые значения и(ф) ее действительной части
<'* J тЁг—'(0. 0)-ш(0, 0),
1*1-1
получаем интегральное представление функции f(z) через краевые значения v (О) ее мнимой части v(x, у):
/(г)= г J ?m_iv{0t 0)+ы(о, о).
1<! = 1
Отсюда, как и выше, находим Л(*о) = и(ф) + Иф) =
2л 2Я
= Иф) +2S J у (°) ctg + 2S j u(0)d6,
или
2я 2л
| «(0)^' (6°)
Следовательно, если известно, что функция и (^удовлетворяет условию Гёльдера, то функция v (ф) тоже удовлетворяет условию Гёльдера и они связаны между собой формулой (59). Обратно, если v (ф) удовлетворяет условию Гёльдера, то и и (ф) удовлетворяет условию Гёльдера и связь между этими функциями дается формулой (60). Это означает, что*формулы (59) и (60), связывающие между собой краевые значения действительной и мнимой частей аналитической в круге |*|<1 функции /(г), удовлетворяющей условию Гёльдера в замкнутом круге JzJ^l, »квивалентны между собой.
Когда дополнительно известно, что

j [“ДО + ИФИФб- о* (61)
sit
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
формулы (59) и (60) принимают вид соответственно

»(ф)=—ак J" “ (^)ctg ^ (62)

_L J vWctg±=±dO = uW. (63)
о
Равенство (63) в предположении, что ы(ф) — заданная, a v(ф) — искомая действительные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, для которых выполнено условие (61), представляет собой сингулярное интегральное уравнение первого рода, решение которого дается формулой (62). Уравнение (63) носит название интегрального уравнения Гильберта, а формула (62) — формулы его обращения.
Подставляя выражение «(О) из формулы (62) в (63), получаем формулу композиции сингулярных интегралов
2я 2л
(2^| j ufo)ctgt=^-*ty = — ы(Ч>).
о о
Ядра и ctg^7~ принято называть ядром Коши и яд-
X — Го ~
ром Гильберта-соответственно.
3°. Преобразование Гильберта. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
ОО
'dt -и (я), — оо < х < оо, (64)
где и (х) — заданная, а, о (л:) — искомая действительные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, для которых при больших | х | имеют место оценки
I«WI<|7TJ. I^WK^s, А>0, 6>0.
Обозначим через F(z) интеграл типа Коши с плотностью v(t):
(0 dt
$ 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 213
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed