Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (43) из главы III в результате однозначно обратимой замены искомой функции
v{l, п) = “'(?. л) +
приводится к интегральному уравнению вида (39):
Ко(Ъ, л'*
I Л
Ei tli
ш(?, т]) + $ dt\ Ко(1, Л! t)dx= 1,
Si 4i
где
200
ГЛ V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6°. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода.
В предположениях, что ядро К(х, у) и правая часть }(х) интегрального уравнения Вольтерра первого рода
\К(х, у) у {у) dy = f (х)
а
удовлетворяют условиям: 1) Кх(х, у) и f'(х) существуют и являются непрерывными функциями и 2) К (х, х) нигде в нуль не обращается, в результате дифференцирования по х это уравнение приводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
X
Ф (х) + 5 К* (х, у) ф (у) dy = f* (*),
а
где
К* (х у) — t* (и — . /' (*)
л У) К (х х) ’ ' w К (х, х) ’
Если перечисленные условия не соблюдены, исследование интегрального уравнения Вольтерра первого рода становится в общем случае затруднительным. Тем не менее в некоторых частных случаях все же удается указать способы, позволяющие даже в квадратурах выписать решения таких уравнений.
Так, например, чтобы найти решение интегрального уравнения с непрерывной правой частью /(*):
= 0<а<1; *>0,
о
носящего название интегрального уравнения Абеля, запишем его в виде
t
С ф_(уИу__,,А
j (t-y)a ~п )’ о
умножим на ядро ^i-a и проинтегрируем по t от нуля до
С dt С Ф (у) dy _ С 1(f) dt
} (х-ф~а J (<-*)“ ~ j
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 201
Из этого тождества, учитывая, что
X
X
X
dt
X
dt
я
(x — f)1'0 (t — y)a sin not *
У
имеем
X
или, если функция f(x) непрерывно дифференцируема,
тегрального уравнения (63) из введения, встречающегося при исследовании задачи о таутохроне:
§ 3. Применения теории линейных интегральных уравнений второго рода
1°. Применение альтернативы Фредгольма в теории краевых задач для гармонических функций. В пункте 2° § 4 главы I было доказано, что если искать решение задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя (47), то для плотности (х этого потенциала получим^ интегральное уравнение Фредгольма второго рода (57):
H(s) — K(s, t)n(t) dt = — 2g(s), K = —l. (40)
X
r> 1
В частности, когда a= ^ , мы получаем решение ин-
X
S
Если мы покажем, что Я. = —1 не является собственным числом ядра К (s, t), то в силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (40) будет разрешимо при
202
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
любой правой части и, стало быть, будет разрешима и задача Дирихле с краевым условием (56) из главы I.
Соответствующее (40) однородное уравнение
iio(s)-Xj/C(s, t)po{t)dt = 0 (41)
s
’при Я = —1 действительно не имеет отличного от нуля решения.
В самом деле, пусть является решением уравнения (41). Потенциал двойного слоя и0(х, у) с плотностью fi0 обладает тем свойством, что в силу формул (54) из главы I и (41)
«о (s) = 0, х? (s) е S.
Так как предел и0(х, у) изнутри области D+ на границе S равен нулю, то в силу свойства единственности гармонической функции заключаем, что ип (х, у) = 0 для всех (х, у) D! . Следовательно, для нормальной произ-
водной на S имеем
(тй-)*=°- <42>
В силу свойства
! ди0 \+ _ Г ди0 \~
\dv ) ~ \ dv )
нормальной производной потенциала двойного слоя, обнаруженного в пункте 2° § 4 главы I, и равенства (42)
заключаем, что
(•ж)'-0' <43>
Так же, как и в пункте 3° § 4 главы I, очевидно, что гармоническая в D~ функция и0(х, у), представляющая собой потенциал двойного слоя и удовлетворяющая условию (43), является постоянной. Но и0(х, у) на бесконеч-
ности равна нулю. Поэтому и0 (х, у) = 0 всюду в D~.
Используя опять формулы (54) и (55) главы I, мы можем утверждать, что
— N (s) = 4 (s) - «о (s) = 0,
и тем самым доказано, что к = —1 не является собствен-цым числом ядра К (s, t).
I i. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 208
Можно показать, что ядро К* (s, t) интегрального уравнения Фредгольма (69) главы I, к которому редуцирована задача Неймана (67), имеет в качестве собственного числа % = —1, но выполнение условия (68) в силу альтернативы Фредгольма гарантирует разрешимость этого уравнения.
Однако, чтобы обнаружить достаточность условия (68) для разрешимости задачи Неймана (67), мы поступим на этот раз иначе.
Пусть и(х, у) — искомое решение задачи Неймана в области D+. Обозначим через v (х, у) функцию, гармо-
. . п ди ди
нически сопряженную с и(х, у). Поскольку и -щ считаются непрерывными в D+ U S, для выражения в силу условия (CR) и (67) имеем
dv dv dx , dv dy_________du dx , du dy
ds dx ds ' dy ds dy ds dx ds
du dy i du dx du , .
dy dv dx dv dv &
откуда
0(s) = fg(Od/+c, 0<s</,
где / — длина контура S области D+.
Так как
о(0) = С, v(l) = {g(t)dt + C,
о
для непрерывности функции v(s) при s = 0, s — l, т. в. для выполнения равенства t»(0) = v(f), функция g(t) должна удовлетворять условию
{g(t)dt = 0, о
что и совпадает с условием (68) из главы I.
Существование в области D+ гармонической функции У)' удовлетворяющей краевому условию
®1в=|г(0Л+с,
о
204
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
доказано выше (задача Дирихле, как только что было доказано, имеет решение).
