Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Гармоническая функция и(х, у) (искомое решение задачи Неймана) строится при помощи v(x, у) по способу, указанному в пункте 5° § 2 главы II.
2°. Редукция задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Для обыкновенного линейного дифференциального уравнения порядка п:
с непрерывной правой частью f (х) и коэффициентами ак (я),
обладающими непрерывными производными k = 0,
diс*
1, ..., п— 1, при а^х^Ь, рассмотрим задачу Коши
где yl, k = 0, ..., п — 1, — заданные действительные постоянные.
Так как полином
удовлетворяет условиям (45) и функция и(х) = у(х) — г(х) является решением обыкновенного дифференциального уравнения
удовлетворяющим начальным условиям
то без ограничения общности можно считать, что в условиях (45) все у к —0, т. е.
(44)
—f =У%, 6 = 0, ..., и— 1, а<х0<Ь, (45)
dxk х=х°
*(*)= 2 (*-*»)*
dky
dxk
= 0, k — 0, n—l.
(46)
f 3. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 805
После «-кратного интегрирования равенства (44) в силу (46) получаем
п — \х *1 *п-1
У(х)+^ ^dx^dxt... j ак (() dt =
k — 0xt хо х0
X Х1 *п-1
= \dx1\dx%... \ f{t)dt. (47)
*о *0 *
На основании известного из математического анализа тождества
xi-i xi
$ dxi J F (t) (xi — ty-1 dt =
X, *0
*1-1 */-1 *i-i
. = I F(t)di^ (X, - ty-1 dxt = ! j (*,_, - O' F(t) dt,
Xo t tj
справедливого для любой непрерывной функции F (t), равенство (47) можно переписать в виде
П — 1 X
fe = 0 *„
ж
(48)
*о
В результате интегрирования по частям в левой части (48) с учетом условий (46) получаем
п — 1 X
У(*) + 2 §«'w^^л =
Л=0 х9
х
Хо
или
у(х) + \ К (х, t) у (0 dt = Z7 (jc), (49)
Vo
toe
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
Я-l л
* (*, о—Т^туг 2 ft = 0
*0
— заданные непрерывные функции.
Таким образом, задача (44), (46) сведена к эквивалентному интегральному уравнению |Вольтерра второго рода (49) с непрерывным ядром К (*, t) и непрерывной правой частью F (х).
Из установленного в пункте 3° § 1 настоящей главы факта существования и единственности решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода вытекает существование и единственность решения задачи Коши (44)„(46).
3°. Краевая задача для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с задачей Коши значительное внимание уделяется и так называемой первой краевой задаче (задаче Дирихле), которую на примере линейного уравнения
-Зг + Ьр (*)«/ = /(*)» а<х<Ь, (50)
можно сформулировать следующим образом: ищется регулярное в интервале а<х<Ь решение у (х) уравнения (50), непрерывное при а^х-^Ь и удовлетворяющее краевым условиям
у (а) = А, у (Ь) =» В, (51)
где А и В — заданные действительные постоянные.
Как и при рассмотрении задачи (44), (45), без ограничения общности можно считать, что А = В — 0, т. е. краевые условия (51) имеют вид
у(а) = у(Ь)=* 0. (52)
Предположим, что р(х) и f (х) — заданные непрерывные при a -=с х -=с b действительные функции, а Я —действительный параметр.
| 8. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 207
Введем в рассмотрение функцию Грина (t—b) (х—а)
G{t, х) =
Ь — а 1 (t—a) (х — Ь) Ь—а
которая 1) непрерывна в квадрате а a^I^b,
2) в интервалах a<.x<.b, a<.t<.b при 1фх как по t, так и по х имеет вторые производные, равные нулю, и 3)
,. dG 1. dG | _.
lim л. '~Пш а, д 1, а<х<.Ь.
<—х ™
X t^x
После интегрирования очевидного тождества /¦> и \ &У /d\ d2G (<. *) д /п дО \
в интервалах a<t<x — t,, x+e<.t<.b, где и — достаточно малое положительное число, сложив полученные результаты, с учетом (50), (52) и свойств 1), 2), 3) функции G(t, х) получаем
(Т + \ )G V' *> I- ХР w У w +f (01 dt =
\ Л * + в/
0(*-в, *)в, x)-ft
+у(х+,)^Л1
dy
t-x+г
х\
t-X+B '
dt t—x—e dt
откуда в пределе при е-*-0 следует, что
у(х)------b$G(f, x)p(t)y{t)dt + \G{t, х)f(t)dt (53)
a a
ИЛИ
y(x)-X\K(x, t)y(t)dt = F(x), (54)
a
ГДе b
K(x, t)------G(t, x)p(t), F(*) = $G(f, x)f(t)dt.
Q
Легко видеть, что решение у(х) интегрального уравнения (54), когда оно существует, удовлетворяет дифференциальному уравнению (50) и краевым условиям (52).
208
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Действительно, так как у (х) — решение интегрального уравнения (54) или, что то же самое, уравнения (53), то можем написать
y(*HjG(f, x)[-Kp(t)y(t) + f(t)]dt (55)
а
*пли
х
У(*)= $ (t~ab^~b) [-bp(t)y(t) + f(t)]dt +
а
+ ( [- кР (Q У (0 ¦+ f (01 dt,
а
откуда находим, что
х
%= $ёг[-А/>(0у(9+/(0]я+
Л
ь
+ f^[-W)</(0+/( 01 я’
ж
и
- Je| [ - %Р (*) 0(*)+f wi=—%р (*) У w+f (*)¦
Далее, в силу непрерывности функции G (/, х) из (55) в пределе, когда х-*-а и *-»-&, на основании равенств G(Z, a) = G(t, Ь) = 0 получаем, что у(а) — у(Ь) = 0.
Тем самым задача (50), (52) редуцирована к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода (54). Следовательно, об условной или безусловной разрешимости этой задачи и о числе ее линейно независимых решений можно судить на основании утверждений, доказанных в §§ 1, 2 настоящей главы.
Опираясь на теорию интегральных уравнений, изложенную выше, легко усмотреть существенную разницу между задачами Коши и Дирихле для обыкновенных дифференциальных уравнений.
