Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
имеет решение. Для разрешимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы числа yit i= 1, N, удовлетворяли условиям
= 0, 1=1.....N-r. (28)
/—1
Условия (28) в силу (22) равносильны системе равенств
Ь N Ь
$ ftyi (х) dx = K dl. ^ qt (л;) f(x)dx = О,
а I = 1 а /оп\
Таким образом, мы пришли к заключению, что при Х=Кк, k—\, ..., т, для разрешимости интегрального уравнения (18) необходимо и достаточно, чтобы правая
% 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
193
его часть f (х) была ортогональна ко всем решениям (л:), 1=1, ..., N —г, союзного с (23) однородного интегрального уравнения (26) (третья теорема Фредгольма).
2°. Понятие итерированного ядра и резольвенты. В пункте 2° § 1 настоящей главы при наличии неравенства (7) была доказана сходимость последовательных приближений (9) к решению ф(я) интегрального уравнения (3), причем предполагалось, что функции К (х, у) и f (х) непрерывны.
Функции
ь
Кп (х, y) = \K (X, Ут) Кп-1 (Уи У)dyi, П = 2, 3, ...,
а
называются итерированными (повторными) ядрами.
Пользуясь понятием итерированных ядер, последовательным приближениям (9) можно придать вид
Ф„ (х) = f(x) + X J 2 V-'Kt (*. У) f (У) dy. (30)
a j= 1
Повторяя рассуждение, примененное в пункте 2е § 1 настоящей главы при доказательстве сходимости последовательности (9), убеждаемся в том, что ряд
2 у)
/=1
при выполнении условия (7) сходится равномерно, когда а^х^Ь, а^у^Ь. Сумма этого ряда R(x, у, к) называется резольвентой или разрешающим ядром ядра К (х, у) или интегрального уравнения (3). Из равенства (30) очевидно, что резольвента позволяет решение q>(x) уравнения (3) записать в виде
ь
Ф(х)-/(х) + Я.{/?(х, у\ к) f (у) dy. (31)
а
Заметим, что функция R(x, у; к) непрерывна относительно переменных х, у в квадрате а^х^Ь, а^у^Ь
(и аналитична относительно к для всех как действительных, так и комплексных значений к из круга
7 А. в. Бицадзе -
194
ГЛ V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поэтому из формулы (31) непосредственно следует, что наряду с f (х) непрерывным является и решение ф (х) уравнения (3).
3°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теперь приступим к изучению интегрального уравнения (3) независимо от того, выполнено или нет условие (7).
Из курса математического анализа известно, что если функция К (х, у) непрерывна в квадрате а^х^Ь, а^у^Ь, то для любого наперед заданного числа е>0 можно указать такие линейно независимые системы непрерывных функций {pi(x))\ a^x^b, {qt ({/)}, a^y^b, i=l, ..., N, что
К (х, у) = 2 Pi (х) qt (у) + Кг (х, у), (32)
<• = 1
где Ке(х, {/) —непрерывная функция, удовлетворяющая условию
(Ь — а) \ Ке(х, у) <е, а^х^Ь, а^у^Ь. (33)
В силу теоремы Вейерштрасса (из курса математического анализа) в качестве pt(x) и qi (у) могут служить, в частности, полиномы.
Представляя ядро К (х, у) уравнения (3) по формуле (32), запишем это уравнение в виде
Ь
Ф(*)-Х$/Се(дг, у) ср (у) dy—F (х), (34)
а
где
F(x)=*f(x) + l J] \pi (х) qi {у) ф (У) dy. (35)
t =1 а
Для любого конечного фиксированного значения X подберем число е, настолько малое, чтобы имело место неравенство
1М<7- (36)
Для интегрального уравнения (34) в силу (33) и (36) соблюдено условие (7), и, стало быть, это уравнение одно-йначно обращается. Обозначив через Rt {х, у, К) резоль-
f 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬЛ^А
венту ядра Кг (х, у), уравнение (34) запишем в виде
<p(x) = F(x) + X\Re (х, у, X)F(y)dy. (87)
а
Подставляя выражение (35) для -F (х) в правую часть (37), после простых вычислений получаем
Ч>(х)-Х\? rt(x)qt (у)Ф (у)dy = g(*), (38)
ai=1
где
ь
n(x) = pt (х) + ЦЯг(х, у; I) pi (у) dy,
а
Ь
g(x) = f(x) + ^Re(x, у; I)f(у)dy.
а
Таким образом, для любого конечного фиксированного значения К интегральное уравнение (3) эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода (38) с вырожденным ядром.
Используя доказанные в предыдущем параграфе теоремы Фредгольма для интегрального уравнения с вырожденным ядром, приходим к так называемой альтернативе Фредгольма: для каждого фиксированного значения К либо соответствующее (3) однородное уравнение (6) не имеет отличного от нуля решения, и тогда уравнение (3) всегда имеет, и притом единственное решение для любой правой части f(x), либо однородное уравнение (6) имеет отличные от нуля решения, и тогда как однородное уравнение (6), так и союзное с ним уравнение имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений', в этом случае уравнение (3) не для любой f(x) имеет решение, причем для разрешимости неоднородного уравнения (3) необходимо и достаточно, чтобы его правая часть f (x) была ортогональна ко всем решениям союзного с (6) уравнения, т. е.
ь
lf(x)Mpi(x)dx = 0, 1=1.....р,
а
где ip,(х), 1= 1, ..., р,—все линейно независимые решения союзного с (6) однородного уравнения.
7*
196
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Функция, тождественно равная нулю, очевидно, является решением как однородного уравнения (6), так и союзного с ним уравнения. В дальнейшем под решением однородного (или союзного с ним) уравнения будем понимать такое его решение, которое отлично от тождествен-^ ного нуля.
