Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, для уравнения (39) задача Гурса
“(?. т|о) = ф(Б). и(1о, Г1) = г|}(т1),
где ф (?) и ife (т]) — заданные непрерывно дифференцируемые
i 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 173
функции, удовлетворяющие условию ф (So) == "Ф ("По), имеет единственное устойчивое решение и (|, т]), которое дается формулой
и(Ъ, *]) = #(?. Ло; I, т1)фШ +
+ R(b>, т]; I, — R(lo, т]0; I, т])ф(5о) +
+ |[&(*> 5, т— т]0; I, Т1)]ф(0^ +
ь
Л
+ |[a(lo, r)R(lo, т; I, тi)-^tf(?0, х; ?, r])ji|j(T)dT+
Т|' \ Г)
+ $ <Й \R(t, т; I, т]) F (t, т) dr.
la По
3°. Задача Коши. Обозначим через а лежащую в области D разомкнутую дугу Жордана с непрерывной кри-
визной, обладающую тем свойством, что ни в одной своей точке она не имеет касания с характеристиками уравнения (39).
Предположим, что выходящие из точки Р (?, т]) характеристики ?i = ? и г)! = г] пересекаются с дугой а в точках Q' и Q соответственно, и обозначим через G конечную область плоскости переменных ?, т), ограниченную участком QQ’ дуги о и отрезками характеристик PQ и PQ’.
Для произвольных дважды непрерывно дифференцируемых в области G функций и(?ь гц) и р(?ь гц) имеет место тождество
2 (vLu — uL*v) —
д I ди до - 0, \ , д ! ди до , п \
“ Sm к 0 - “ + 2Н + 55-(ss " - S5 “ + '
Интегрируя полученное тождество по области G, на основании формулы (GO) получаем
21 (vLu - uL*v) <% dr\ = J ~u + 2auvj dтц -
~{щи ~dtu+2buv}<%1' <51)
где S — граница области G.
Предполагая в формуле (51), что u(h, ц1) = и(Р’) — решение уравнения (39), a v (glf гц)^ (P')=R т^; ?, rj)=
174 гл. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
= R(P', Р), Р = Р(%, ri), из тождества (51) находим u(P)=±u(Q)R(Q, P) + ±u(Q')R(Q', Р) + + ]F(P')R(P', P)dg1d4l-
-Т Р)~и(Р')дЛ^}сЬР'-
QQ’
— ([а(Р')Ц + МП^]Я(Р'. P)u(P')d<,P', (52)
QQ*
где
д _ д , <Э% д dN dv 3t]j dv ’
a v —внешняя нормаль дуги а в точке Р\
Обратно, если в правой части формулы (52) будем ди
считать, что и и ^ - произвольно заданные на а достаточно гладкие функции, то определенная этой формулой функция и(Р) будет решением уравнения (39).
Когда искомое решение и(Р) уравнения (39) и его
производная . где / — заданный на а вектор, который нигде не совпадает с касательной к а, известны на а:
и(Р) = Ф(Р), d-^P- = W(P), Pea, ‘ (53)
где Ф и TF — соответственно дважды и один раз непрерывно дифференцируемые функции, то ^ всегда можно
определить однозначно.
Следовательно, формула (52) дает решение задачи Коши (39), (53). Из процесса получения формулы (52) очевидно, что решение этой задачи единственно и устойчиво.
Наряду с рассмотренными в этой главе задачами в приложениях важную роль играют также смешанные задачи для гиперболических уравнений, но на них мы здесь останавливаться не будем.
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Уравнение теплопроводности.
Первая краевая задача
1Q. Принцип экстремума. Простейшим примером уравнений параболического типа является уравнение теплопроводности
д*и ди___«
Ш~д1 •
(1)
Поскольку дифференциальное уравнение характеристик, соответствующих уравнению (1), имеет вид dt2 = О, это уравнение имеет единственное семейство характеристик t — const, представляющих собой прямые, параллельные оси х.
Рассмотрим область D плоскости переменных х, t, ограниченную отрезками ОА и BN прямых t = 0, t — T, где Т — положительное число, и кривыми
О В и AN, каждая из которых пересекается с прямыми t = const в одной точке, причем, если уравнения этих кривых заданы соответственно в виде х — ос (t), y=$(t), то предполагается, что
а(0<Р(0.
Обозначим через S часть границы области D, состоящую из О А, ОВ и AN, причем считается, что Be 5, N^S (рис. 22).
Функцию и (х, t), имеющую на множестве D (J BN не-
д*ц ди
прерывные частные производные ^ и -щ и удовлетворяю-
щую уравнению (1) в области D, будем называть регулярным решением этого уравнения.
Л х
Рис. 22.
176 гл. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Принцип экстремума: регулярное решение и(х, t) уравнения (1), непрерывное в D\j S|J BN, своего экстремума достигает на S.
При доказательстве этого утверждения мы здесь ограничимся рассмотрением случая максимума.
Итак, обозначим через М максимум и(х, t) на замкнутом множестве D\J S\J BN. Допустим, что и(х, t) достигает максимума М не на S, а в некоторой точке (х0, t0) е D U BN. Легко показать, что это допущение приводит к противоречию.
В самом деле, введем в рассмотрение функцию
v(x, t) = и (х, t) + a(T — t), (2)
где а — положительная постоянная. Ввиду того, что 0 ^ г=с ^ sg Т, из (2) имеем
и(х, t)^v(x, t)^u (х, t)-\-aT (3)
всюду в D U S U BN,
Пусть Ми, Mv — максимумы соответственно и (х, i) и v(x, t) на S. По допущению Ми<М. Число а подберем так, чтобы имело место неравенство
M-Ml
а,< Т~^' (4)
На основании (3) и (4) получаем
С 9 9 M-Mf,
Mv ^ Ми + аТ<Ми Н---------у—Т r=M—u(x0, to)^v(x„, ^0)-
Отсюда следует, что функция v (х, t) не может достигать максимума на S. Следовательно, эта функция своего максимума на D U S U BN достигает в некоторой точке (xlt tJeEDUBN.
Сперва предположим, что (xlf /х) <= D. Так как (х,, является точкой максимума функции v (х, t) на D U S U BN, . dv „ d*v _ п
