Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
В результате замены переменного интегрирования ? = = лс+2т]]/7 формула (14) принимает вид
00
и(х, 0 = ф(х+2т]'1/7)<гт,2с!г]. (15)
— 00
Так как sup | ф (х)j < М, где М — положитель-
— 00 < х< СО
ное число, и интеграл в правой части (15) сходится абсолютно, то
00
| и(х, t)\<fL
— 00
откуда ввиду того, что 00
\ e-vdn-/Я, (16)
— 00
имеем
| и (дс, 01*^ М.
Учитывая то обстоятельство, что интегралы, полученные при внесении под знак интеграла в правой части (14) операции дифференцирования по х и / (любое число
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ - ДИРИХЛЕ
18)
раз), сходятся равномерно вблизи каждой точки (х, t), t>О, и функция Е (х, t, 0) при />0 удовлетворяет уравнению (1), заключаем, что определенная формулой (14) функция и(х, t) в полосе D является решением уравнения (1).
Предельньм переходом при t-> 0 (эта операция за конна из-за равномерной сходимости интеграла вблизи каждой точки (х, 0) при fSsO) из (15) в силу (16) получаем
lim и(х, /) = ф(х).
/-* о
2°. Единственность и устойчивость решения задачи Коши — Дирихле. Единственность и устойчивость решения задачи Коши — Дирихле непосредственно получается из следующего утверждения (принципа экстремума для полосы): для регулярного в полосе D решения и (х, () уравнения (1) имеют место оценки
т^и(х, t) «S М,
(17)
m—inf u(x, 0), Af = sup u (*, 0), — со <x<co. ' '
Чтобы обнаружить справедливость первого неравенства в (17), рассмотрим функцию v(x, t)~x3 + 2t, являющуюся решением уравнения (1).
Обозначим через п нижнюю грань и(х, t) при (х, t)^D и введем в рассмотрение функцию
w(x, t)*=u (х, t) -m + e^fe ff)t (18)
где e — произвольное положительное число, а (х0, t0) — произвольная фиксированная точка внутри полосы D.
Представленная формулой (18) функция w(x, t) является решением уравнения (1), причем при t — 0
w(x, 0) = и(х, 0) — m + е^^о^О (19)
BnPHUi-i»»i+/E3|5S
W (X, t)^ и (х, t) — n^s 0.
(20)
182 гл. tv. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Из оценок (19), (20) на основании доказанного в предыдущем параграфе принципа экстремума, примененного в прямоугольнике
-i^i-yTsElpS)^
содержащем точку (х0, t0), заключаем, что w (х0, t0) — = и(хо, to) — /n + вЗгО, т. е. и(х0, t0)^m — е. Отсюда в свою очередь в силу произвольности е следует, что и(х0, to)Згт. Таким образом, и(х, t)^sm всюду в D.
Заменяя и (х, t) на — и (*, t) и повторяя приведенное выше рассуждение, убеждаемся в справедливости и второго неравенства в (17).
Название задачи (1), (12) задачей Коши —Дирихле оправдано тем, что, приняв переменное t за время, условие (12) можно рассмотреть как начальное условие. Но на это условие можно смотреть и как на краевое условие, заданное на границе tf = 0 верхней полуплоскости t> 0 изменения переменных х, t.
3°. Неоднородное уравнение теплопроводности.. Пусть теперь g (х, t), — оо <оо, 0 < со, — заданная
действительная ограниченная непрерывная функция. За носителя данных вместо прямой t = Q примем прямую t = т, где т — фиксированное положительное число, и введем функцию v
v(x> *• Т)= 2У~'я уТ^т \ 6 i{t~X)8& T)dg, />т.
— ОО
Как и в предыдущем пункте, легко видеть, что
S“S = 0’ *>т> *>(х, т, T) = g(X, т).
На основании этих равенств заключаем, что функция
t
и(х, t) = \v(x, t, T)df »
§ 3. О ХАРАКТЕРЕ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИИ
183
является решением неоднородного уравнения
д*в ди . „
дх* dt=
удовлетворяющим условию и(х, 0)=»0.
§ 3. О характере гладкости решений уравнений
с частными производными
1Q. Случай эллиптических и параболических уравнений.
Как уже было доказано в пункте 5° § 6 главы II, гармоническая в области D функция и(х, у) является аналитической функцией переменных х, у в этой области. Более того, доказывается, что решения линейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами в области их регулярности являются аналитическими функциями.
Из формулы Пуассона пункта 2° § 2 главы I следует, что решение и (*, у) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге | z | < 1 даже при требовании одной только непрерывности краевых значений g на окружности | г | = 1 (т. е. когда g на окружности | г \ — 1 непрерывна, но нигде не дифференцируема) является аналитической функцией действительных переменных х, у при | г | < 1.
В пункте 2° § 1 настоящей главы было показано, что решение и (х, t) первой краевой задачи (7), (8) для уравнения теплопроводности (1) при требовании Непрерывности первой производной функции и (х, 0) = ф (я) имеет в области D: 0<.х<1, 0частные производные всех порядков по переменным х, t. Точно так же из формулы (14) в пункте 1° предыдущего параграфа был сделан вывод, что ограниченность и непрерывность функции ф (х) = = «(*, 0), — со<Сх<Соо, гарантируют существование частных производных всех порядков решения и (х, t) задачи Коши —Дирихле (12) для уравнения (1).
2°. Случай гиперболических уравнений. Утверждения предыдущего пункта перестают быть верными, когда речь идет о задаче Коши и о характеристической задаче Гурса для уравнения колебаний струны.
Так, например, из формулы (35) главы III следует, что порядок гладкости решения и (х, t) характеристической задачи (13), (34) совпадает в порядком гладкости данных Ч> [х) и ij) (х), т. е. для существования частных произвол-
