Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
то в этой точке д(- = 0, ^ 0, т. е.
(5)
Пусть теперь (xlt t^^BN. Ввиду того, что v(x, t) достигает в точке (хг, ti) своего максимума на множестве
J 1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
177
D[}S\JBN, в эт°й точке ^5=0. Учитывая то обстоятельство, что (xlt Т) является точкой максимума v (х, Т) как функции х, мы должны иметь - Т - gg: 0. Следова-
тельно, неравенство (5) имеет место и в точке (х1г Т).
Подставляя в левую часть (5) значения ^ и найденные из равенства (2), получаем
ди дги____ , ,
дГ1-а~д^^0’ х = хь ' = *!•
или, так как и(х, t) является решением уравнения (1),
— a 5s 0, а это невозможно, ибо а> 0.
Полученное противоречие доказывает справедливость первой части принципа экстремума. Аналогично доказывается и вторая его часть.
2°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Доказанный принцип позволяет установить единственность и устойчивость решения следующей так называемой первой краевой задачи для уравнения теплопроводности: ищется регулярное в области D решение и(х, t) уравнения (1), непрерывное в D U 5 U BN и удовлетворяющее условиям
h|ob = iM0. «Luv = iM*). «1ол = ф(*),
-фх (0) = ф (0), Tj33 (Л) = Ф (Л), ' '
где г|зх, г|)2 и ф — заданные действительные непрерывные функции.
В самом деле, если иг(х, t) и и2(х, t) — регулярные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям (6), то функция и (х, t) = иг (х, t) — и2 (х, t) будет регулярным решением уравнения (1), обращающимся в нуль на 5. Следовательно, в силу принципа экстремума и(х, t) = 0 в D U S U BN, откуда и следует единственность решения первой краевой задачи (1), (6).
Если разность между краевыми значениями на 5 регулярных решений иг(х, t) и иг(х, t) уравнения (1) по модулю меньше е, е>0, то в силу принципа экстремума
I ui (х, t) — u2 (х, t) | < е всюду в D U S U BN, и тем самым непрерывная зависимость решения первой краевой задачи
178 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
от краевых данных на 5 (т. е. устойчивость решения этой задачи) доказана.
Теперь мы докажем существование решения первой краевой задачи для уравнения (1) в предположениях, что ОВ и AN — прямолинейные отрезки, соединяющие точки
О (0, 0), В (0, Т) и А (I, 0), N (/, Т) соответственно,
причем
и (0, 0 = 0, ы(/, /) = 0, O^t^T, (7)
и(х, 0) = ф(л:), 0 л; «s Z, (8)
где ф (х) — непрерывно дифференцируемая на сегменте Os^jcsiz функция, обращающаяся в нуль прн х = 0, x = t.
Как известно из курса математического анализа, функцию ф (х) на сегменте O^x^l можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье
СО
Ф(х)= 2 a*siaTx> (9)
где
I
ak = jjcp(x)sin~xdx, k=l, 2, ...
Пользуясь формулой (40) из введения при -я = 2, хг = х, x2 — t, tft(x) =sin^x, получаем регулярное решение уравнения (1):
ик (х, t) = e~ sin5^ х, (10)
удовлетворяющее краевым условиям ик(0, t) — u(l, t) = 0,
Uk(x, 0) = sin^jc.
Очевидно, что функция и(х, t), представляющая сумму ряда
" л*кЧ /
и(х, 0=21 ** sinTx»
«—1
будет искомым решением краевой задачи (1), (7), (8).
При t> 0 абсолютная н равномерная сходимость ряда
(11) и рядов, полученных цз «его дифференцированием
f 2. ЗАДАЧА КОШИ — ДИРИХЛВ
179
по х и t сколько угодно раз в окрестности точки (х, t), следует из того, что
lim
ft—>СЮ
я»** « -тг-1
= 0, т = О, 1,
Когда носителем данных (8) является отрезок прямой t = t0 и to^t^T в условиях (7), то решение первой краевой задачи в прямоугольнике 0<*</, t0<.t<.T дается опять формулой (11), в которой вместо t следует писать t — t0.
Заметим, что ряд в правой части этой формулы при /<0 может вовсе не иметь смысла. По этой причине не рассматривается первая краевая задача для уравнения (1), когда t<t0, где t = t0 — носитель данных в краевых условиях.
Все сказанное выше, очевидно, остается в силе и тогда, когда число пространственных переменных больше единицы, лишь с той разницей, что в последнем случае вместо простых рядов (9), (11) следует брать кратные ряды.
§ 2. Задача Коши—Дирихле
1°. Постановка задачи Коши — Дирихле и доказательство существования ее решения. Пусть D представляет собой бесконечную полосу —со < х < со, 0 sc / Т, где Т — фиксированное положительное число, причем случай Т —
= оо не исключается (рис. 23).
Ограниченную, непрерывную в полосе D функцию и(х, t) с непрерывными внутри
л д2и
D частными производными ^,
ди
-gf, удовлетворяющую уравнению (1), будем называть регулярным решением этого уравнения.
Под задачей Коши —Дирихле понимается следующая задача: ищется регулярное в полосе D решение и (х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условию
и(х, 0) = ф(дс), — со<х<оо, (12)
180 гл. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
где ф(х), — оо<Сх<оо, — заданная действительная непрерывная ограниченная функция.
Как уже было отмечено в пункте 3° § 3 введения, функция
Е(х, I, t, 0) = ±е t>0, (13)
является решением уравнения (1) во всех точках (х, t) полуплоскости t> 0.
Докажем, что функция и(х, t), определенная по формуле
СО _ху
и('Х’ ^ =
— 00
является решением задачи Коши — Дирихле.
Из курса математического анализа известно, что интеграл в правой части (14) сходится равномерно в окрестности любой внутренней точки (х, t) полосы D.
