Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 52

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 88 >> Следующая

Значение к, для которого однородное уравнение (6) имеет решения ф;(я), 1=1, ..., р, будем называть, как и в пункте 1° настоящего параграфа, собственным числом ядра К (х, у), а функции <р, (я) — собственными функциями этого же ядра, соответствующими собственному числу к.
Заметим, что если уравнение (3) запишем в виде Ф (у)-к\К(у, t) ф (t) dt = f (у),
а
умножим обе его части на кК (х, у) и проинтегрируем, то получаем
Ф (*) -кг\К2 (х, 0 ф (0 dt = /2 (*),
а
h\x) = f (х) + к \ К (х, у) / (у) dy.
а
Продолжая этот процесс, будем иметь
ь
ц(х)-кт\Кт (х, у) ф (у) dy = fm (х),
а
где
ь
fm (*) = fm-1 (x) + k\K (X, у) fm~i (у) dy, h (x) = f (x).
a
Таким образом, мы пришли к заключению, что если к и ф (х) — собственное число и соответствующая ему собственная функция ядра К (х, у), то кт и ф (я) будут собственным числом и соответствующей ему собственной функцией итерированного ядра Кт(х, у). Верно и обратное утверждение, но на его доказательстве мы здесь останавливаться не будем.
Все изложенные выше утверждения относительно уравнения (3) непосредственно распространяются на случай
§ 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
197
уравнения (*) с непрерывным ядром К (х, у) и непрерывной правой частью f(x).
Более того, на основании приведенного выше замечания можно заключить, что эти утверждения остаются верными и в случае ядер вида
К(х, у) = **х-у\« ’ 0<«<«о.
где К* (х, у) — непрерывная функция относительно совокупности переменных х, у, а п0 — размерность области D (или ее границы S). В этом легко убедиться, если учесть то обстоятельство, что ядро интегрального уравнения
ф (я) J Кт (^« У) ф {У) dy = fm (X),
D (S)
полученного т-кратным итерированием ядра К (х, у), при достаточно большом т представляет собой непрерывную функцию переменных х, у.
Также очевидно, что, если f(x) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек или гладких многообразий размерности меньше «о, и абсолютно интегрируема по области D (или по S), альтернатива Фредгольма остается в силе.
Именно к такому виду относятся рассмотренные в пункте 2° § 5 главы I интегральные уравнения, к которым были редуцированы вопросы существования решений (в том числе элементарных) общих эллиптических уравнений второго порядка.
Так как в этих случаях для области D достаточно малого диаметра значение интеграла
SlK(*. V)\dy
D
можно сделать как угодно малым, условие (7) "пункта 2° § 1 настоящей главы можно считать выполненным и, стало быть, для таких областей существование решений указанных интегральных уравнений гарантировано.
4°. Понятие спектра. Множество всех собственных чисел ядра К (х, у) называется спектром этого ядра. Изучение спектра занимает значительное место в теории интегральных уравнений.
Как уже было показано выше, спектр ядра уравнения Вольтерра является п стым (пункт 8° § 1), а в сл чае
198
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
вырожденного ядра уравнения Фредгольма он состоит из конечного числа элементов (пункт 1° настоящего параграфа). Среди других ядер, спектр которых хорошо изучен, особо следует выделить действительные симметричные ядра.
Ядро К (х, у) называется симметричным, если для всех значений х, у из области его задания К {х, у) = ¦ = К (у, х). Легко видеть, что если <рх (х) и ф4 (х) — собственные функции, соответствующие отличным друг от друга собственным числам Я, и Я,, то ь
\ Ф1 (*) Фг (*) dx — 0.
а
В самом деле, в силу симметричности ядра К (х, у) имеем
ь ь ь
(X* — Я,)$ ф!(х)ф,(х)dx = K1hl\ ф!(x)dx\ К(х, у)ф,(у)dy —
а а а
Ь Ь
— М*$Ф» (x)dx\K(x, у) ф! (y)dy =
а а
Ь Ь
= ЯЛ$ф1 (x)dx\[K (х, у) — К (у, *)]ф2 (У) dy = 0,
а а
откуда, так как Ях^Я^, следует справедливость сформулированного утверждения.
Из этого утверждения в свою очередь вытекает, что собственные числа действительного симметричного ядра не могут быть комплексными.
Действительно, если собственное число Я и соответствующая ему собственная функция ф(*) являются комплексными;
Я — Ъ + ih, Ф (*) = Ф1(*) + 1Фа (х),
то Я ¦= Я* — 1'Я, и ф (х) = ф! (х) — fcp, (*) также являются собственным числом и соответствующей ему собственной функцией.
Если Яз # 0, то, как уже было доказано,
ь _________ ь
5 Ф (¦*) Ф (*) dx <= \ | Ф |* dx = 0.
а а
Отсюда заключаем, что ф (х) = 0 тождественно, а это невозможно в силу определения собственной функции. Следовательно, Я2 = 0, т. е. Я — действительное число.
§ 2. теоремы фредгольма
199
Среди других важнейших свойств симметричных ядер отметим еще одно его свойство: спектр действительного симметричного ядра не является пустым. Поскольку ниже это утверждение не используется, его доказательство опускается.
5°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с кратным интегралом. Повторением рассуждения, приведенного в пункте 3° § 1 в случае интегрального уравнения вида
Ф(?, г]) — dt\ К (I, т); U т)ф(/, x)dx = /(i, г]), (39)
где К (I, т); t, х) и / (?, т)) — заданные действительные непрерывные функции, приходим к заключению, что это уравнение для любого фиксированного значения действительного параметра к имеет единственное решение. Поэтому интегральное уравнение (39) также называется уравнением Вольтерра второго рода.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed