Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 45

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 88 >> Следующая

На простом примере можно показать, что в свою очередь для уравнения Лапласа
д»ц . д*и _п „
дх* + ду2 (36)
некорректно поставлена задача Коши.
В самом деле, пусть требуется найти регулярное решение и(х, у) уравнения (36) по начальным условиям
, п\ / \ г\ ди , . sin пх
и(х, 0) = T(*) = 0, -^tf_o = vW = -ir.
Так как (*) = v (ж) = (— 1)* п*к+*Щ^, то из формулы (26) введения находим
ОО
Stan*
' (2,
4 = 0
«¦(*. Й- 2
sh пу sin пх
(37)
Для достаточно большого п функцию v (я) можно сделать как угодно малой, в то время как соответствующее решение (37) задачи Коши для уравнения (36) неограни-чено, когда п -> со. Следовательно, полученное решение неустойчиво, и стало быть, рассматриваемая задача не
f 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 169
является корректно поставленной. Приведенный здесь пример принадлежит Адамару.
Задача Коши и характеристическая задача корректно поставлены и для общих дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа.
§ 4. Общее линейное уравнение второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными
1°. Функция Римана. В пункте 2е § 2 введения было доказано, что линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа при довольно общих предположениях относительно его коэффициентов с помощью неособого преобразования независимых переменных можно привести к каноническому виду
В характеристических переменных % = х-\-у, ц = х — у уравнение (38) записывается следующим образом:
Очевидно, что характеристиками уравнения (39) являются прямые | = const, т] = const.
В предположении дифференцируемости коэффициентов а и Ь уравнения (39) вводится понятие оператора
= F1(x, у). (38)
где
4 а = А + В, 4Ь = А-В, 4с = С, 4 F = Flt
сопряженного с оператором L.
Решение е(?, т]) сопряженного уравнения
ЯЩ-Щ («0 - Д (И + cv = 0, (40)
17® ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
удовлетворяющее на характеристиках I =» 5i и г) = тц условиям
ч
v(h, г)) = ехр $а(5ь г),) dr)a,
' (41)
о(5, rji) = exp \ b(i„
г.
где (|i, rji) — произвольно фиксированная точка области D задания уравнения (39), называется функцией Римана.
При дополнительном требовании непрерывности щ,
дь
gjj и с функция Римана существует.
Действительно, в результате интегрирования уравнения (40) получаем
o(g, г)) -о(5, цО —°(5ь л) —
I л
— $ ь (1а, Г)) V (|а, Т]) d|2 - 5 а (1, т|2) v (?, г)я) dtj2 +
Si Til
I Л 6
+ 5 <^5a J c (5a, Л*)v (5a, Л*) di\t + § b (I2, Til) v (?г> Til) ^5a +
?1 *H ?1
+ 5 & (Ii, %) V (5b T]2) dt]2 = 0. (42)
%
Так как в силу (41) имеем
I
«(5, Til)— \ Ь (52, т]х) v (12, T]i)d5,= l,
I.
т)
О (5i, Ti) - $ a (h, Т],) о (|х, Т]а) dT)2 = 1,
'ho(5i, t]i) = 1,
то равенство (42) запишется в виде линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода относительно v(l, Л):
S ч
О (5, Т]) - $ Ь (5а, Т]) v т]) dl2 — $ а (|, т^) v (5, т]а) dtj2 + ii л.
- Ч
+ 5^2 §с(5г> %) v (.la, •|&)dT)g=l. (43)
JU ч*
i 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1?1
В пункте 4° § 2 главы V будет доказано, что уравнение (43) имеет единственное решение, и тем самым существование функции Римана можно считать доказанным.
Поскольку функция Римана зависит не только от переменных 5» т), но и от Ei и rjj, естественно ее обозначить в виде
v = R(l, rj; Si, in)-
Из (41) имеем
gg.fe_g ?i. ii>—flfo, ч; |ь T)l) — о,
-g-(—4 Sl’ ^ nt)j?(6, t]x; Si, ть)-0, (44)
R{h, h, iii)=1
d-^^M + aiI, T)i)Ra, Ti; 6, nx)-0,
dR(l, Л; |i, Л)+&(б1> у,; |ь t)) = 0, (45)
Ril, »i; S, t)) = 1-
Для достаточно гладкой в области D функции и (Si, г)х) имеет место очевидное тождество
dl~~dxh Iм (^* ^ R (&1* ^ ?> Л) - Я (5ь Ль I. л) Lu (it, Г]Х)] = = + (46) В результате интегрирования (46) по Si и г), в промежутках lo^sSi^S. ЛоЛг«Sл. где (!„, ^-произвольная точка области D, в силу (44) получаем
«(S. Л) = «(1о, Ло) R (So, Ло'. S, Л) +
+ | Rih, Ло! I, л)р^Т1о)+&(§1, ц0)и(1г, Ло)]#1+ л
+ j «(So. Ль I, 4^ +fl(Sо, Лх)и(Ь.. Лх)]^1 + ч.
I Л
+ 5 dll $tf(Si. Ль I, Л) Lu (Si, лО^Ль (47) ?• о*
172 гл. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Когда и(\, Ti) = tf(Eo. %; I. Т]). в СИЛУ (45) из (47) будем иметь
1 ч
\dh (Ei, г]й I, т])LR(lo, т)0; h, r]i) dt)i = 0. (48)
Ло
Из тождества (48) следует, что функция Римана R (|, т|; ii, rii) относительно последней пары переменных ?ь ili является решением однородного уравнения
LR(l, т]; 6i, r]i) = 0. (49)
На основании (45) и (49) непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при непрерывной правой части F (|, т]) уравнения (39) одним из его частных решений является функция
г п
«о (Е, Tl) = \ d?i § R (Si. Ль ?> л) Р (?ъ %)
Ло
2°. Задача Гурса. Предполагая в тождестве (47), что и(1, т]) —решение уравнения (39), после интегрирования по частям получаем
и (I, т]) = R(l, т)0; I, т])и(|, т]о) +
+ R(lo, л; I, л)«(5о. ч) - R (So. т]о; I, л) «(?о, т]о) +
+ j [&(*, Ло)R(t, I, т\) — ^R(t, т)0; I, т])]ы(/, т]о)<# +
!•
л
+ j[a(?o, т)Я (?о, т; I, Т]) — ^.Rilo, т; I, t))J ы (i0, t)dT+
Ло
I Л
+ \dt \R(t, т; I, r])F(t, T)dx. (50)
|о Ло
Из перечисленных выше свойств функции Римана непосредственно следует, что формула (50), когда в ее правой части и(%, т]0) и и (?0> т)) заменены произвольными непрерывно дифференцируемыми функциями и и(10, т)0) — произвольной постоянной, дает регулярное решение и (?, т]) уравнения (39).
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed