Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что для любого фиксированного значения параметра X уравнение (4) Не может иметь более одного решения.
Пусть ф (лг) и г|з (х) — непрерывные решения уравнения (4). Их разность 6 (лс) = ф (лг) — чр (де) удовлетворяет однородному уравнению
Ь(х) = Х\К(х, y)b{y)dy, (14)
а
и, следовательно,
) 8 (дс) I ^ | Л. j Ai(д; — а), (15)
где Л1* = max К (х, у) |, т* = max | б (х)!. В силу (15)
из (14) следует оценка
§ 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
189
Продолжая эту процедуру, будем иметь
|0(х)|<|Л,|»М;^,?=^ (16)
для людого натурального п. Из оценок (16) в пределе, когда п-*- оо, получаем, что б(х) = 0, т. е. г|) (х) = ф (х).
Таким образом, мы пришли к заключению, что интегральное уравнение Вольтерра (4) при требовании непрерывности его ядра К (х, у) и правой части f (х) имеет единственное решение для каждого конечного значения параметра X. Этим существенно отличается интегральное уравнение Вольтерра второго рода от интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое, как будет показано ниже, не для каждого А, может иметь решения, а при некоторых значениях А оно может иметь даже несколько решений.
§ 2. Теоремы Фредгольма
I9. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Ядро К (х, у) интегрального уравнения (3) называется вырожденным, если оно имеет вид
*(*, y)=I,Pi(x)q,(y), (17)
( = i
где р, (х) и qi (у), а^х^Ь, а^у^Ь, — заданные действительные непрерывные функции. Без ограничения общности можно считать, что системы {pi{x)\, {?,(*)}, t= 1, ..., N, линейно независимы.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
N ь
ф (*) - Ь S S Pi (*) 4i (У) Ф (У) йУ = f(x)‘ (18)
1 = 1 о
Интегральное уравнение (18) можно записать в виде
к
ф (*) = /(*) +Я V ciPi (*), 1
(19)
190
ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
ь
Ci = \qi{y)y{y)dy, i=l, ..., N, (20)
— неизвестные постоянные.
Постараемся подобрать постоянные с,-, i = 1, ..., N, так, чтобы определенная формулой (19) функция ф (дг) была решением интегрального уравнения (18). С этой целью внесем выражение (19) для (р (х) в левую часть (18). После простых вычислений получаем
N г Ь N Ь
2 Pi (х) cl-\qi{n)f(y)dy-'k ? $ № (У) Pi (У) аУ
1 = 1 a i = 1 а
=0,
откуда в силу линейной независимости функций Pi(x), t = l, ..., N, следует, что
или
где
ct-Ui (У) f{y)dy-X^]c,\qx (у) Pj (у) dy — 0
а 1 = 1 а
N
Ci 2= T»i i=l, (21)
/=i
ь
o.ii = \qi(y)pi{y)dy, 4i — \f (y) qi (jy) dy. - (22)
a a
Таким образом, задача отыскания решения q> (х) интегрального уравнения (18) редуцирована к решению системы линейных алгебраических уравнений (21).
Соответствующее (18) однородное интегральное уравнение
Ь N
Ф° (*)-*•$ 2 Pi (х) qt (у) Ф° (у) dy = 0 (23)
О / = 1
точно так же редуцируется к соответствующей (21) однородной линейной алгебраической системе '
N
с»-?. У] aijC) =*0. (24)
i-1
5 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
191
В теории системы (21) фундаментальную роль играв! матрица
1-Xau —Ха ^
М(Х) = ~^а21 1— — Ха м
1 Г ... \—%aNN
Из линейной алгебры известно, что система (21) всегда (для любых правых частей у,) имеет, и притом единственное, решение, если
detAf(X)=*0. (25)
Но det М (X) относительно X представляет собой полином степени N. Следовательно, условие (25) будет нарушено лишь для конечного числа значений X: Х1, ..., Кп, m^N, являющихся нулями полинома det М (X). Эти значения называются собственными числами ядра К (х, у).
Таким образом, для каждого конечного значения X, отличного от Хк, k—l, ..., т, система (21) имеет единственное решение с1г ..., cN. Подставляя полученное решение системы (21) в правую часть формулы (19), получим решение ф (лс) интегрального уравнения (18). Тем самым доказана следующая теорема: если X не является собственным числом ядра К (х, у), то интегральное уравнение (18) для любой непрерывной правой части f (х) имеет, и притом единственное, решение (первая теорема Фредгольма).
Союзное с (23) интегральное уравнение в силу (1) имеет вид
N Ь
Ч> (*) - А- 2 \pi (У) 41 (*) Ф (у) аУ = 0. (26)
1 = 1 а
Уравнение (26) равносильно союзной в (24) однородной еистеме
0, (27)
/= I
где
ь
di = \pi(y)y(y)dy, t = l, ..., N.
а
Если Х = Хк, ? = 1. ..., т, и ранг матрицы М(Х) равен
г, то, как известно из линейной алгебры, однородная
192
ГЛ. V ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
система (24) и союзная с ней система (27) имеют по N — г линейно независимых решений
.... <$,
dj, dipj, /=1, . ••, N т.
Подставляя полученные решения систем (24) и (27) соответственно в правые части формул
N
ф/ w=2] 00.
* = 1
N
%(х) = Х J] М.
1 = 1
/=1........N-r,
получаем по N — г линейно независимых решений однородных интегральных уравнений (23) и (26). То есть соответствующее (18) однородное интегральное уравнение (23) и союзное с ним однородное интегральное уравнение (26) имеют ровно no N —г линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма).
Функции ф?(*), 1=1, ..., N — г, называются собственными функциями ядра К (х, у), соответствующими собственному числу "kh-
Как известно, опять из линейной алгебры, при А, = А*,
k=\.......т, система (21) не для любых правых'частей
