Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Корректность постановки задачи Коши. Из формул Кирхгофа, Пуассона, Даламбера, а также из формул (16), (21) и (23) следует, что малому изменению начальных данных ф и \|з и правой части g волнового уравнения соответствует малое изменение решения задачи Коши.
Покажем справедливость этого утверждения на примере однородной задачи Коши (25) для неоднородного уравнения (24). Без ограничения общности мы можем считать, что />0.
Если разность gi(*, t) — g% (х, t) = g(x, t) между правыми частями неоднородных уравнений
_____, п д*и1_д*и1 _ , л
дх3 dt* ~~ S1’ >’ дх* дР ~ >
достаточно мала, т. е. |g(*, 01<®. т0 Для разности «1 (х, 0 — «г (х, t) = u (х, t) между решениями их {х, t) н и2(х, t) этих уравнений, удовлетворяющими однородным
f 3. ЗАДАЧИ, КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ
начальным условиям (25), в силу формулы (23) получаем
Следовательно, малому изменению правой части неоднородного уравнения (24) в области ее задания соответствует малое изменение решения задачи Коши (24), (25), если область ограничена по переменному t. Отсюда с учетом свойства единственности решения заключаем, что для волновых уравнений задача Коши поставлена корректно.
3°. Общая постановка задачи Коши. До сих пор мы считали, что носителем начальных данных (27) является
плоскость t = 0 пространства Еп+1 переменных хг.......хп, t.
Мы сейчас на примере уравнения (13) покажем, каким условиям должен удовлетворять носитель L начальных данных, отличный от / = 0, и какой вид должны иметь сами начальные данные для того, чтобы полученная в окончательном итоге задача была поставлена корректно.
Обозначим через D область плоскости переменных х, t с кусочно-гладкой жордановой границей S. Пусть и (х, t) — регулярное в области D решение уравнения (13), имеющее непрерывные частные производные в D(JS.
Интегрируя тождество
по области D и используя формулу (GO), получаем
Пусть L — разомкнутая кривая Жордана с непрерывной кривизной, удовлетворяющая двум требованиям: а) каждая прямая из двух семейств x + t = const, x — t=* = const характеристик уравнения (13) пересекается с кривой L не более чем в одной' ее точке и б) направление касательной к кривой ни в одной точке не совпадает с характеристическим направлением, соответствующим уравнению (13).
Предположим, что характеристики х\ — x = t1 — t, xx — x = t — tx, выходящие из точки С(х, t), пересекаются с кривой L » точках А и В. Применяя формулу (29) в обла-
т
т
(28)
-о- <»>
1вв ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
сти, ограниченной дугой АВ кривой L и отрезками характеристик С А и СВ, получаем (рис. 20)
АВ + ВС + СА
Sr^+f^=°-
(30)
Так как вдоль С А и ВС имеем dxx = dt^ и dxx = — dtl соответственно, то (30) можно записать в виде
§?1dt1 + ?;dx1-2u{C) + u(A) + u{B) = 0,
АВ
откуда находим
И(С)={«(Л) + |«(В)+{ {^dt^fdxr. (31)
АВ '
Если решение и(х, t) уравнения (13) удовлетворяет условиям
Л I I
(32)
ди
где ф и $ — заданные действительные соответственно дважды
и один раз непрерывно дифференцируемые функции, а I — заданный на L достаточно гладкий вектор, нигде не совпадающий с касательной к кривой- L, то, ди ди
определяя -щ из равенств ди d*i . ди dtj dtp
/4е> I Л/ /1*
дх1 ds ди dx
dtt ds
ии uxi . ди dti
a*7~sr + i;i!
ds
где s —длина дуги L, и подставляя известные значения ди ди /01.
и> дзГ' Ж 8 пРавУю часть (31), получим регулярное решение уравнения (13), удовлетворяющее условиям (32).
Задача отыскания регулярного решения уравнения (13), удовлетворяющего условиям (32), также называется задачей Коши. Из приведенного рассуждения следует, что задача Коши в только что указанной постановке имеет единственное устойчивое решение.
f 3. ЗАДАЧИ. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ
167
4е. Задача Гурса. (Характеристическая задача.) Пусть теперь L представляет собой совокупность отрезков О А и ОВ характеристик x1 — tl = 0, + ^ = 0 соответственно.
Характеристики x1 — x=t — t1 и хх—x = tx — t, выходящие из точки С(х, t), пересекаются с ОД и ОВ в точках
и соответственно (рис. 21).
Применяя формулу (29) в случае характеристического прямоугольника ОАгСВх, получаем
j
или
OAt AtC
CBt в%0
= 2и (А х) - 2и (О) - 2и (С) + 2и (Вг) = О,
откуда имеем
u(C)-u(i4i) + u(?i)-u(0). (33)
Если известно, что
и|ол —ф(*). «I ов = У{х), ф (0) = ф (0), (34)
то из (33) получаем
«(*, о-ф(?±?)+4(?=1)_ф(0). (35)
168
ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Из этой формулы следует, что значения и и вдоль
характеристик независимо друг от друга нельзя задавать.
Задача определения регулярного решения уравнения (13) по условиям (34) называется задачей Гурса. Единственное устойчивое решение этой задачи дается формулой (35). Поскольку в задаче Гурса носителями данных являются характеристики уравнения (13), эта задача называется еще характеристической задачей.
5°. Некоторые некорректно поставленные задачи. Гак как формула (35) однозначно определяет решение задачи Гурса (34) в характеристическом прямоугольнике OAOtB, построенном по его соседним сторонам О А и ОВ, то наперед произвольно задавать и (х, t) еще и на сторонах 0ХА и 0ХВ нельзя. Отсюда следует, что задача Дирихле (т. е. задача, в которой носителем данных является замкнутый контур) для уравнения гиперболического типа не является корректно поставленной.
