Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
5°. Конформные отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями, и обращение этих функций. Понятие римановой поверхности. Как уже было отмечено в пункте 3° настоящего параграфа, дробнолинейная функция (10) аналитична на плоскости комп»
лексного переменного z всюду, кроме точки г=» — |.
Легко видеть, что необходимое и достаточное условие однолистности отличной от постоянной дробно-линейно#
94
ГЛ II СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
функции (10) заключается в том, что
ad — ЬсфО. (21)
В самом деле, при рассмотрении дробно-линейной функции (10) случай одновременного обращения в нуль постоянных end исключается. Во всех остальных случаях нарушение условия (21) означает, что функция w постоянна, что опять исключается. При отображении (10) точки
d а
z=------, w = со и z = oo, w = -~ находятся во взаимно
однозначном соответствии. При различных же значениях
, d d Zi Ф — - , г2Ф — переменного г для разности между
соответствующими значениями и w2 функции w в силу (10) имеем
т ___го) (ad—gQ
2 1 (ezi + d) (cz2 + d)' _
Отсюда следует, что выполнение условия (21) обеспечивает однолистность отображения (10) на расширенной плоскости комплексного переменного г, причем
dw—b
Z =-----.
—cw+a
В частности, при с = 0, d=l из (21) получается условие аф 0, обеспечивающее однолистность линейной функции w = az-\-b, обратной которой является
w b г=а~1г-
В случае действительных а, Ь, с, d, удовлетворяющих условию (21), дробно-линейная функция (10) взаимно однозначно отображает действительную ось lmz = 0 на действительную ось Im = 0 с сохранением направления обхода при ad — bc>0 и с противоположным направлением обхода при ad — be < 0, ибо при действительном г в силу формулы
dm ad—be
dz = (сг+d)%
в первом случае ^ > G а во втором ^<0. Отсюда
в силу теоремы о взаимно однозначном соответствии заключаем, что в рассматриваемом случае дробно-линейная фу№
§ I. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
95
ция (10) конформно отображает верхнюю полуплоскость z+: Irn z> 0 (нижнюю полуплоскость z~: ImzcO) на верхнюю полуплоскость w+: Im ы>> 0 (нижнюю полуплоскость ier: I m w < 0) при ad — bc> 0 и верхнюю полуплоскость z+ (нижнюю полуплоскость г~) на нижнюю полуплоскость аг (верхнюю полуплоскость wv) при ad — bc<.b.
Дробно-линейная функция
где 6— действительная, а г„ — комплексная постоянные, Imzo>0, обладает тем свойством, что
при 1шг = 0 и что эта функция точке г = г0 ставит в соответствие точку w-О. То есть определенная по формуле (22) функция w действительную ось lmz = 0 взаимно однозначно переводит в окружность | w | = 1 и, следовательно, в силу теоремы о взаимно однозначном соответствии эта функция конформно отображает верхнюю полуплоскость г+ (нижнюю полуплоскость г~) на внутренность круга ! w | < 1 (на внешность круга \ w | sg 1). Когда же ImZoCO, определенная формулой (22) функция w полуплоскость г+ (г~) отображает конформно на внешность круга | w | 1 (на внутренность круга \ w | < 1).
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что при отображении (22) симметричным относительно действительной оси lmz = 0 точкам гиг соответствуют симметричные относительно окружности \ w | = 1 точки w
(22)
и w
W ‘
Рассмотрим теперь дробно-линейную функцию
* “'-‘"тЗЬ. |*к»-
(23)
Так как при |г|=1, 0ф<2л имеем
то повторением приведенного выше рассуждения убеждаемся в том, что функция (23) конформно отображает круг | г | < 1 на круг | w | < 1.
96
ГЛ II. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА
Если za! > 1, то (23) дает конформное отображение внешности круга \ z |=g: 1 на внутренность круга | w j < 1.
Каждая из рассмотренных выше дробно-линейных функций, отображающих конформно соответственно верхнюю полуплоскость Im z >0 - на верхнюю полуплоскость 1тш>0, верхнюю полуплоскость lmz>0 на круг |о»|с1 и круг jzjcl на круг |а>|<1, содержит по три действительных параметра, которые единственным образом определяются при соблюдении , одного из следующих условий: 1) три заданные граничные точки гх, z2, г3 переходят в три заданные граничные точки тъ w2, w3, 2) внутренняя zx и граничная z2 точки переходят во внутреннюю a/j и граничную т&2 точки и 3) внутренняя точка zx и выходящее из нее направление переходят во внутреннюю точку w-l и выходящее из нее направление. Областью однолистности степенной функции
w = zn, ' (24)
где п — натуральное число, является любой угол D с верши-
2я
ной в точке г — 0 раствора —. В самом деле, для двух
различных значений г1 = ге‘ч>1, г2 = ге^г независимого переменного z имеем а>х = rnein^', w% = rneinv>. Отсюда получаем ву2 — wt= rn (ein(fi — ein(Pi) = гпе1 "ч*1 (е1п (ф* - ч»' — 1) Ф 0, если только п(щ — щ)ф2пк, k = 0, ± 1,..., т. е. при !ф2 — <Г
2д
< — имеем wi?=w1. Внутри угла D функция z—f-1^), обратная w, обозначается в виде
z = yrw = w*, (25)
причем
= _!_ = _L = I оД-1
dw dw mn~l п ¦
dz
Так как определенная формулой (24) функция w лучи arg z — ф переводит в лучи arg w — mp, в частности луч
argz = — , &3s0, — в положительную часть действитель-
„ > л 2 (k -f-1) д
нои оси Ima;=:0 и луч arg z = - 7----снова в поло-
