Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 30

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 88 >> Следующая

109
имеем
dv=idx+^dy=-^dx+^dy- (“)
Условие
д / ди \__/ ди \
ду\ду}~ дх \ ~дх )
того, чтобы полученное для dv выражение (52) было полным дифференциалом, соблюдено из-за гармоничности функции и(х, у) в области D. Следовательно,
v(x, у) = \ -~dx + ~dy + C,
(*о, У а,
г^е С — произвольная действительная постоянная, а интеграл не зависит от пути, соединяющего точки (л:0, г/о) и (х, у) и лежащего в области D.
Таким образом, приходим к заключению, что по заданной в односвязной области D действительной части и (х, у) аналитическая в этой области функция / (г) определяется с точностью до произвольного мнимого слагаемого iC по формуле
(х, у)
f(z) = u(x, y) + i \ -^dx + ^dy + iC. (53)
(*о. i/o)
Имеет место утверждение, обратное теореме Коши и именуемое теоремой Морера: если функция f(x) непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее вдоль любой замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана, лежащей в D, равен нулю, то f(z) аполитична в D.
Действительно, по условию теоремы интеграл (40) от функции f(t>) зависит исключительно от точек г0) г, но не от пути интегрирования, соединяющего г0 с г. Как мы уже видели, это свойство интеграла (40) вместе с непрерывностью f (?) достаточны для того, чтобы определенная формулой
F(z) = \ f(Z)d?
Zo
функция была аналитична в D и имело место равенство F' (z) = f (г). Так как производная аналитической функции сама является аналитической функцией, то из равенства F'(z) = f(z) следует аналитичность функции /(г).
110
ГЛ. И. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
§ 3. Важнейшие следствия,
вытекающие из интегральной формулы Коши
1°. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть f (г) — аналитическая в области D функция, а М — верхняя грань значений | f (г) | для всех геО.
Принцип максимума модуля: модуль аналитической в области D функции f(z), отличной от постоянной, ни в одной точке этой области не может принимать значения М.
Если М*= оо, справедливость этого утверждения очевидна, ибо в каждой точке геО функция f(г) принимает лишь конечное значение. Равенство М = 0 также исключается, так как в этом случае /(г) = 0. Предположим теперь, что число М конечно и что в некоторой точке г0еЬ имеет равенство |/(г0)| = М. Рассмотрим замкнутый круг |? — z0|=s?6, лежащий в D. В силу интегральной формулы Коши (47) имеем
| f (?) | = М. В самом деле, допустим, что в точке Со — -
имеет место неравенство | f (Со) | < М (обратное неравенство исключено). Тогда в силу непрерывности | / (?) | неравенство |Д?)|<Л1 сохранится для некоторого промежутка 0О —8<0<0о + 0 и на основании (54) получим бессмысленное неравенство M<M. Следовательно, | Д?) | = М для всех значений б, 0==s6ss6o, т. е. в окрестности

j/(2O+eeie)d0,
IS-Zol = e
0
C-z0 = б^0,
откуда по принятому допущению получаем

^(го + бе*)!^.
(54)
о
Из (54) следует, что на окружности |? — г0| = б
\г — Zo|<60 точки 20. Так как log|/(г)| = 2-log/(г)/(г),
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 111
для всех значений г в круге | z — г01 <1 б0, т. е. в этом круге всюду /'(z) = 0 и, стало быть, f(z) = const. Отсюда, повторяя соответствующую часть рассуждения, приведенного в пункте 4° § 1 главы I при доказательстве принципа экстремума для гармонической функции, заключаем, что f{z) = const всюду в D, а это исключено. Таким образом, допущение | / (г0) | = М неверно, и тем самым принцип максимума модуля доказан.
Если 1(г)Ф0> всюду в D и /л — нижняя грань |/(z)| для всех гей, то, применяя принцип максимума модуля
для аналитической области D функции -yj-y, заключаем,
/ \Ч
что | / (г) | нигде в области D не может принимать значения т. Следовательно, в рассматриваемом случае модуль аналитической в области D функции f (z) экстремума может достигать лишь на границе области D.
2°. Теоремы Вейерштрасса.
Первая теорема Вейерштрасса: если ряд
ОО
I] fk (z) (55)
ft=i
аналитических в области D функций fk (г) равномерно сходится на любом замкнутом подмножестве области D, то сумма f(z) этого ряда аналитична в D, причем для кож-
СО
дого натурального р ряд fip) (г) производных порядка р
fe = 1
функций ft,{z) равномерно сходится на любом замкнутом подмножестве области D и
fp)W= fj Др)(г). (56)
fe=i
Сперва покажем, что /(г) непрерывна в области D. Пусть г0 — произвольная фиксированная точка области D.
В силу равномерной сходимости ряда (55) для наперед
заданного е > 0 существует натуральное число N (е) такое, что |/(г)-5лг(г)|<е/3 для всех г из лежащего в обла-
N
сти D круга | z — z0 j === 6„. Здесь SN (z) = ^ /* (г)- в силу
fe= 1
непрерывности конечной суммы SN(z) существует число ба(е)>0 такое, что | 5^(z) —5^ (z0)|<e/3 для всех г из
112
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
круга \г — г01Сб2. Следовательно, для всех г из круга \г — г01С б, где 6 = 111111(6!, б2), на основании полученных неравенств можем напнсать
l/(*)-/(z0)| =
= I (2о) + SN (г) — SN (г0) + SN (г0) — SN (г) | ^
^ I f (г)— (г) I + 1 f (г0) — (г0) | +
+1 Sff (г) — SN (г0) I < 'з + у + у = в,
а это означает, что /(г) непрерывна в точке г0 и, стало быть, она непрерывна всюду в области D.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed