Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь замкнутый круг | г — г01 6 лежит
в области D. Интегрируя равенство
2яГ {^Г = ~Ш 1^7 2 12 г0 ( < б,
fc=i
по окружности | ? — г01 = 6 и пользуясь свойством 4) комплексного интеграла из пункта 1° предыдущего параграфа, выраженным формулой (37), и интегральной формулой Коши (47), получаем
00
i S 2
It — Zo) = в к= 1
для всех точек г круга | z — z0 | <с 6. Отсюда на основании аналитичности интеграла типа Коши заключаем, что f(z) аналитична в круге \ z — г0|<б и, в частности, в точке z0. Так как z0 — произвольная точка области D, то тем самым аналитичность f(z) доказана всюду в области D. Интегрируя равномерно сходящийся ряд 00
р! у Ь(0 -- Р'- /го
2nl jL (? — г)Р+1 2л1 (S—г)Р+1
k — 1
по окружности | ? — г01 = 6, в силу (50) получаем, что
00
2 ^ (г)= fiP) (г) Для всех точек круга \г — г0|<6 и, fc= 1
стало быть, последнее равенство имеет место всюду в области D.
Из равномерной сходимости ряда (55) на окружности | ? — z01 = б следует, что для наперед заданного е > О
5 3 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 113
существует натуральное число N (е) такое, что
О для всех n^N. Поэтому для всех точек г г0|<6/2 имеем оценку
2 /»+*(?)
fc=i
круга | z
СО
2 й+*(2) = S
It—го1 =e k= 1
2fn+k (0
&-г)Р+1
<
2P+1ple
а это означает, что ряд в правой части (56) равномерно сходится в круге | z — z01 < 6/2. Отсюда, пользуясь известным положением из анализа о возможности выделения конечного покрытия из любого заданного покрытия замкнутого множества открытыми кругами, заключаем, что ряд (56) равномерно сходится на любом замкнутом подмножестве области D.
Вторая теорема Вейерштрасса: если ряд (55) аналитических в области D и непрерывных в D[)S функций fk (г) равномерно сходится на границе S области D, то этот ряд равномерно сходится в D U S.
Эта теорема доказывается точно так же, как теорема Гарнака из пункта 5° § 2 главы I. В самом деле, из равномерной сходимости ряда (55) на S следует, что для любого е > О существует натуральное число N (е) такое, р
< е для любого р ^ 1 и для всех ? е S.
что
I
Так как модуль конечной суммы 2 /дг+* (z) аналитиче-
«= 1
нице S области D, то
ских в D функций fk(z) максимума достигает на гра-
р
2 fn+k (?) <е для всех zeD (J S,
*=i
а это означает равномерную сходимость ряда (55) в D U S.
3°. Ряд Тейлора. Как уже было показано в пункте 3° § 1 настоящей главы, сумма S (г) степенного ряда
/(*)= S ak(z-z0)k
(57)
fe = о
внутри его круга сходимости |z —z0| <R, R> 0, является аналитической функцией.
114
ГЛ. II СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА
Имеет место и обратное утверждение, именуемое теоремой Тейлора: аналитическая в области D функция f(г) в окрестности каждой точки г0еО представляется в виде суммы степенного ряда
00
f(z)= 2 ak(z-z0)k, (58)
k = 0
радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние б0 от точки г0 до границы S области D.
В самом деле, для каждого значения z из круга | z — z01 < б < б0 на основании интегральной формулы Коши (47) имеем
= С /(ОА 1 ( =
’ 2я( J ?—z 2я1 J ? —г„ , г—г0
v v
V *=о
г—г„
где у — окружность |? — г0! = б, а U—1 == <?< 1, ?еу.
I ь — *0 I
В силу равномерной сходимости ряда
по
г—г„ \k 1
?—го
относительно ? на окружности у ряд в правой части (59) мы можем интегрировать почленно и переписать это равенство в виде (58), где
1....... <60>
или, принимая во внимание (50),
ak= ~f^k){z0), 6 = 0, 1, ... (61)
Так как ряд (58) сходится в круге \z — г„|<6, где 6 —
произвольное число из промежутка 0<б<б0, то радиус сходимости ряда (58) не меньше 60.
Степенной ряд (57), коэффициенты а* которого выражаются через функцию f(z) по формулам (60) и (61),
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 115
называется рядом Тейлора или тейлоровским разложением функции f(z).
Из формулы (61) следует, что тейлоровское разложение в окрестности данной точки z0gD единственно.
4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиувилля. Из теоремы Тейлора в свою очередь вытекает теорема единственности аналитической функции: если аналитическая в области D функция f(z) равна нулю на бесконечном множестве точек Е области D, которое имеет предельную точку г0, лежащую в D, то f{z) = 0 всюду в D.
В самом деле, пусть d — круг | г — z0 | < б, лежащий в D. По теореме Тейлора в d имеет место разложение (58). Обозначим через zk, 6=1,2,..., последовательность точек
ОО
Е П d, сходящуюся к г0. По условию, /(г*) = 2 °п(г* — г»)П —
л = 0
= 0, откуда в пределе при zk-+z0, zk Ф z0, получаем
Оо = 0. Точно так же из равенства
/(**)
Zk — Zo
n — \
получаем ах = 0 и т. д.
Следовательно, все ак = 0, 6 = 0, 1, и, стало быть, f (г) = 0 в круге d. Пусть теперь г* — произвольная точка области D. Соединим точки г0 и г* непрерывной дугой /, лежащей в D, и обозначим расстояние между I и границей S области D через б0. Передвигая центр круга \z — ?|<б<60 из точки г0 в точку г* и пользуясь каждый раз тем фактом, что в каждом положении % имеет место равенство /(?) = 0, заключаем, что /(г*) = 0, т. е. /(г) = 0 всюду в D.
Точка г0еО, в которой / (г0) = 0, называется нулем или корнем функции /(г). Если г„ является нулем аналитической в области D функции /(г), то в силу (58) будем иметь
