Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
— аналитическая в области D функция, удовлетворяющая в точке z0eD условию
Это условие равносильно тому, что в точке z0 якобиан
Следовательно, в силу известной теоремы о неявных функциях в предположении непрерывности первых производных функций и (х, у) и v (х, у) (ниже будет доказано, что действительная и мнимая части аналитической функции имеют производные всех порядков) система равенств и = и(х, у), v — V(х, у) в некоторой окрестности точки z0^D однозначно обращается. Другими словами, каждая точка Z(,eD, в которой выполняется условие (16), обладает окрестностью однолистности функции w=*f(z), причем обратная функция z — f^iw) аналитична в некоторой окрестности точки w0 = f(z0) и, как легко видеть,
Пусть
w = f(z) = u(x, y)-fiv(x, у)
(15)
f' (z0) Ф 0-
(16)
ди ди д(и, у) _ дх ду д(х, у) dv dv дх ду
Пусть у — проходящая через точку z0 гладкая дуга Жордана с уравнением z = z(t), г. е. x^x(t), y = y(t),
$ 1 ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
91
a==gf«sp. В точке z0 = z(t0) кривая 7 имеет касательную, т. е.
z'(*o)^0. (17)
Образом у при отображении (15) является проходящая через точку w0 = f(z0) дуга Г = /(7), уравнение которой имеет вид да = /[г(/)], причем w' (t) = /' (z) г' (t) и в силу (16) и (17)
w'(U) = f'(z0)z'(1й)ф0. (18)
Условие (18) означает в свою очередь, что дуга Г в точке w0 имеет касательную.
На основании (18) заключаем, что с точностью до слагаемого 2kn, 6 = 0, ±1, ...,
arg f' (z0) = arg w' (t0) — arg z' (t0), (19)
т. e. аргумент /' (z0) равен углу поворота дуги у в точке z0 при отображении (15).
Пусть теперь —отличная от у гладкая дуга Жордана: z1 = z1(x), проходящая через точку z0,
a T1 = f(y1)-ee образ с уравнением ®i=/[z1(t)], Zi(t0)=z0. Повторяя приведенное выше рассуждение, получаем
arg f' (z0) = arg w[ (т0) — arg z[ (т0). (20)
Из равенств (19) и (20) имеем
arg w' (t„) - arg w't (т0) = arg z' (t0) — arg z[ (t0),
а это означает, что угол между дугами 7 и 7Х в точке г0 равен углу между их образами Г и 1\ в точке w„ = / (z0).
Другими словами: в каждой точке г0, в которой f (z0) Ф 0, при отображении (15) имеет место сохранение (консерватизм) углов (как по величине, так и по направлению их отсчета) (рис. 7). Ввиду того, что
\dz0\ = Vх'о+Уо dt=ds0,
I dw01 = v'0’ dt — da0
являются элементами длин дуг 7 и Г в точках Zo и wt соответственно и __________= /'(z0), имеем
> dw0 do*
92
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
т. е. модуль производной аналитической функции в точке г0 при выполнении условия (16) совпадает с искажением масштаба (элемента длины) при отображении (15) и это искажение одно и то же по всем направлениям, выходящим из точки г0.
Взаимно однозначное отображение (15) области D плоскости г на область Dx плоскости w, при котором в каждой точке г0 имеют место консерватизм углов и постоянство искажения масштаба, называется конформным.
....ш.
arq со-ага ш
Рис. 7.
На основании приведенного выше рассуждения заключаем, что отображение, осуществляемое аналитической функцией w = f(z), является конформным в достаточно малой окрестности каждой точки z^D, в которой f (г) Ф 0.
В теории конформных отображений центральное место занимают следующие четыре утверждения, доказательство которых не предусмотрено в программе, по которой составлен настоящий курс лекций.
Теорема о сохранении области: производная f (г) однолистной аналитической в области D функции f(z) нигде в нуль не обращается, причем эта функция область своего задания конформно отображает на определенную область Dx плоскости переменного w, а обратная функция г = /-1 (и>) аналитична 9 Dx.
§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
93
Повторением известного из курса математического анализа рассуждения о дифференцируемости сложной -функции приходим к заключению, что если аналитическая в области D функция w = f(z) конформно отображает область D на область D, плоскости w и функция ? = ф (а>) аналитична в области Dlt то сложная функция ? = ф [f (z)] аналитична в области D, причем
! = ф'[/(г)]Пг).
Теорема Рима’на: для каждой односвязной области D плоскости комплексного переменного г, граница которой ’остоит более чем из одной точки, существует аналитическая функция w — f (z), отображающая конформно эту область на внутренность единичного, круга Dx плоскости w, причем функция f (г) определяется единственным образом, если потребовать, чтобы она заданную точку z0 е D и выходящее из нее заданное направление переводила в заданную точку wn е D, ив выходящее из нее заданное направ ление.
Теорема о соответствии границ: при конформном отображении w = f(z) друг на друга областей D и Du ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми Г и Гх, функция w — f(z) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное соответствие между D U Г и Dx U Гх с сохранением направления обхода на Г и Гх.
Теорема о взаимно однозначном соответствии: если границы Г и Гх односвязных областей D и Ьх являются замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана и аналитическая в D функция w = f(z) взаимно однозначно и непрерывно отображает Г на Гх с сохранением направления обхода, то эта функция конформно отображает область D на область Dv
